一、引子 BIM（二元如果模型）
近期在优化文本相关性，使用到BM25和BM25F模型，可是发现网络上关于BM25和BM25F模型的介绍比較少。在此总结一下，方便记忆，还有一方面搜了一下相关的资料，发现比較少，写下来欢迎大家查阅。
介绍BM25模型首先要介绍二元独立模型BIM。
如果一：二元如果
所谓二元如果，类似于布尔模型的表示方法，一篇文章在由特征表示的时候，以特征“出现”和“不出现”两种情况来表示，也能够理解为相关不相关。
如果二：词汇独立性如果
所谓独立性如果，是指文档里出现的单词之间没有不论什么关联，任一个单词在文章中的分布率不依赖于还有一个单词是否出现，这个如果明显与事实不符，可是为了简化计算，非常多地方须要做出独立性如果，这样的如果是普遍的。
在以上两个如果的前提下，二元独立模型即能够对两个因子P(D|R)和P(D|NR)进行估算（条件概率）。举个简单的样例。文档D中五个单词的出现情况例如以下：{1,0,1,0,1} 0表示不出现，1表示出现。
用Pi表示第i个单词在相关文档中出现的概率，在已知相关文档集合的情况下，观察到文档D的概率为：
对于因子P(D|NR)。我们如果用Si表示第i个单词在在不相关文档集合中出现的概率。于是在已知不相关文档集合的情况下。观察到文档D的概率为：
于是我们能够得到以下的估算
能够将各个因子规划为两个部分。一部分是在文档D中出现的各个单词的概率乘积，还有一部分是没在文档D中出现的各个单词的概率乘积，于是公式能够理解为以下的形式
对公式进行一下等价的变换，可得：
第一部分代表在文章中出现过的单词所计算得到的单词概率乘积，第二部分表示全部特征词计算得到单词概率乘积，它与详细的文档无关，全部文档该项的得分一致，所以在排序中不起作用。能够抹除掉。得到终于的估算公式：
为了方便计算，对上述公式两边取log，得到：
那么怎样估算概率Si和Pi呢，假设给定用户查询，我们能确定哪些文档集合构成了相关文档集合，哪些文档构成了不相关文档集合。那么就能够用例如以下的数据对概率进行估算：
依据上表能够计算出Pi和Si的概率估值，为了避免log（0）。对估值公式进行平滑操作。分子+0.5。分母+1.0
代入估值公式得到：
这个公式代表的含义就是，对于同一时候出如今查询Q和文档D中的单词，累加每一个单词的估值结果就是文档D和查询Q的相关性度量，在预先不知道哪些文档相关哪些文档不相关的情况下，能够使用固定值取代，这样的情况下该公式等价于向量空间模型（VSM）中的IDF因子，实际证明该模型的实际使用结果不好，可是它是BM25模型的基础。
二、BM25模型
BIM（二元如果模型）对于单词特征，仅仅考虑单词是否在doc中出现过。并没有考虑单词本身的相关特征，BM25在BIM的基础上引入单词在查询中的权值，单词在doc中的权值。以及一些经验參数，所以BM25在实际应用中效果要远远好于BIM模型。
BM25由3部分组成。第一部分是BIM模型得分，上面也提到了，在一定的情况下该部分等价于IDF，第二部分是查询词在文档D中的权值。f是查询词在文档中的频率。K1和K是经验參数，第三部分是查询词自身的特征。qf是查询词在用户查询中的频率，但一般用户查询都比較短，qf通常是1，K2是经验參数，从上面的公式能够看出BM25是查询中单词的分值叠加得到，每一个单词是一个个体，而整个文档被作为一个总体。
在第二部分中K因子代表了文档长度的考虑，dl是文档的长度，avdl是文档的平均长度，k1和b是调整參数，b为0时即不考虑文档长度的影响，经验表明b=0.75左右效果比較好。可是也要依据对应的场景进行调整。b越大对文档长度的惩处越大，k1因子用于调整词频，极限情况下k1=0，则第二部分退化成1，及词频特征失效，能够证明k1越大词频的作用越大。
在我们不知道哪些文档相关，哪些文档不相关的情况下，将相关文档数R及包括查询词相关文档数r设为0，那么第一部分的BIM公式退化成：
就是IDF因子的定义，N是总文档数。n是查询词的tf信息。0.5是平滑因子。以上就是BM25的定义
三、BM25F
BM25F是典型BM25的改进算法。BM25在计算相关性时把文档当做总体来考虑，但随着搜索技术的发展。文档慢慢的被结构化数据所取代。没个文档都会被切分成多个独立的域，尤其是垂直化的搜索。比如网页有可能被切分成标题，内容，主题词等域，这些域对文章主题的贡献不能同等对待，所以权重就要有所偏重。BM25没有考虑这点。所以BM25F在此基础上做了一些改进，就是不再单单的将单词作为个体考虑，并且将文档也依照field划分为个体二考虑，所以BM25F是每一个单词在各个field中分值的加权求和。
boost是对应域的权值。Lc是field的长度，AVLc是field的平均长度。Bc是调节因子。
最后BM25F的终于值就是各个field分值的加权求和。
引用：张俊林《这就是搜索引擎》
Integrating the Probabilistic Model BM25/BM25F into Lucene.