Climbing Stairs爬楼梯——动态规划

题目描写叙述：

初阶：有n层的台阶，一開始你站在第0层，每次能够爬两层或者一层。

请问爬到第n层有多少种不同的方法？

进阶：假设每次能够爬两层。和倒退一层，同一个位置不能反复走，请问爬到第n层有多少种不同的方法？

解题思路：

初阶：一维动态规划。爬楼梯数目事实上是一个斐波拉契数列。

假定f[i] 表示是爬到第i层的方法，那么f[i] = f[i-1] + f[i-2] //第i层的方法数目等于第i-1层数目加上第i-2层数目。

初值：f[0] = 1, f[1] = 1。 //最開始没有爬和第一层的方法数目为1.

输出：f[n] 爬到第n层的方法数目。

实现方法两种：迭代法、递归法

递归法：时间复杂度：O(n) ，空间复杂度：O(n)

迭代法：时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)

//递归法

class Solution {
public:
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int climbStairs(int n) {
        // write your code here
        vector<int> ans(n+1);
        ans[0] = 1;
        ans[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; i++)
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        return ans[n];
    }
};

//迭代法

class Solution {
public:
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int climbStairs(int n) {
        // write your code here
        int prev = 0;
        int cur = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int tmp = cur;
            cur += prev;
            prev = tmp;
        }
        return cur;
    }
};

进阶：參考这里

主要是倒退一层。这个地方可能会违背动态规划无后效性的原则。

那么我们要怎么转化呢？
由条件：同一个位置不能反复走。我们能够知道假设要退步的话，不能退两层以上，由于用两步退两层再一步前进两层，那就会走同样的位置。所以我们最多仅仅能退后一步。

那么题目的条件就能够转换两种情况。

a.跳两层（前进两层）。
b.退一层跳两层 （前进一层）。

1. State:

f[i][0] 表示最后一步是跳两层情况下爬到第i层的方法数目。

f[i][1] 表示最后是一步是退一层跳两层的情况下爬到第i层的方法数目。

2. Function:

 f[i+1][1] = f[i][0] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+1层的方法数目 等于 从第i层情况a的数目跳两层退一层。

这里不能考虑第i层的情况b的方法数，由于第i层情况b的数目是从第i+1层退一步得到的。

f[i+2][0] = f[i][0]+f[i][1] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+2层的方法数目 等于 第i层全部情况跳两层。

3. Intialize:

 f[0][0]=1初始化最開始没有爬的方法数目为1.

4. Answer: 

 f[n][0]+f[n][1] 爬到第n层a、b两种不同的方法的总和