什么是三次样条插值
插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，
然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法（未知点在上述已知点自变量范围内）。
样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使用软尺连接两个相邻数据点，
以达到连接曲线光滑的效果。
样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上，曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续，
因此，在节点处需要满足一阶导数相等。另外，为了使得曲线的曲率最小，要求曲线二阶导连续【1】，
在节点处需要二阶导相等。
三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求，但是次数高的曲线容易震荡，因此，就选用三次多项式即可。
数学表述
假设有n个已知节点：
函数关系记为： 。
在区间 中插值多项式曲线：
注意，这里头曲线为，尾曲线为
。
插值在节点处满足条件：
（1）曲线经过节点：
（2）曲线一阶导连续（光滑）：
（3）曲线二阶导连续（曲率最小）：
边界条件：对两端节点的约束。
（B1）自然(natural (or free))边界条件
（B2）固定(clamped)边界条件
固定一阶导数：
,
固定二阶导数：
,
（B3）非节点边界(not-a-knot )
要求在第二个节点 和倒数第二个节点
，曲线的三阶导也连续：
三次多样式函数的计算
样条函数采用n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，一共是4n-4个参数，
因此需要4n-4个方程。
条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个方程；
条件（2）n-1个曲线相邻一阶导连续，提供n-2个方程；
条件（3）n-1个曲线相邻二阶导连续，提供n-2个方程；
以上一共是4n-6个方程，还需要2个方程，这两个方程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）
每个均提供2个方程，这样就凑够了4n-4个方程。
计算的例子
n个节点，n-1条曲线。在区间 内，令第i条曲线为：
一二三阶导分别为：
一阶：
二阶：
三阶：
接下来，套用节点条件和边界条件：
先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: ，
。
条件（1）：曲线 已经满足第一个式子：
；
第二式 ：
(I)
条件（2）：
(II)
条件（3）：
(III)
边界条件以非节点（Not-A_Knot）条件为例， 得：
(IV) ,
联立方程(I)和(II)， 分别消去 和
得：
,
带入方程(III)得：
(V)
这里i的最大值应该取不到n-3，当i=n-3时，上式左边将出现 ，而参数a的范围是从0到n-2，
所以不存在这项，此式一共是n-2个方程。
另外，方程(II)和(III)都不支持 ，需要单独计算
：
由方程(I)，(III)分别有：
=>
由边界条件方程(IV)中的 得：
方程（V）取i=0有：
与上式联立消去，得：
(VI)
另由 得：
(VII)
方程(V), (VI), (VII)联立，n-1个方程，n-1个未知数（），参数a得解，然后在算出参数b和c即可。
References: