Wilson定理证明
就是那个((p-1)! equiv -1 pmod{p}),(p)是一个素数.
Lemma A
(mathbb{Z}_p)可以去掉一个零元变成一个群.
即(forall ain mathbb{Z}_ {p},a ot= overline{0}, exists b in mathbb{Z}_p,ab=overline{1})也就是存在逆元.
Lemma B
(forall ain mathbb{Z}_p,a ot=overline{p-1},a^2 otequiv 1 pmod{p})
证明
设存在(x^2equiv 1 pmod{p}, x<p-1)则(x^2=np+1~~ nin mathbb{Z}),则(np=(x+1)(x-1)),则(pmid x-1 或 pmid x+1).显然,当(p=x+1)时((x+1)(x-1))达到最小,而此刻(x=p-1),与(x<p-1)矛盾.
证明
通过Lemma A与Lemma B可知(2dots p-2)的逆元都不等于它们本身,且都在(2dots p-2)间.那我们对它们配对即可得((p-2)! equiv 1 pmod{p}),乘上(p-1)即得到((p-1)! equiv -1 pmod{p})