二分查找

　　二分查找前提条件：带查找的数列有序

　　二分查找，也叫折半查找，它遵循三步法，把原序列分成元素个数尽量接近的两个子序列，然后递归查找。二分查找只适用于有序序列。

　　时间复杂度：O(logn)

　　尽管可以递归实现，但二分查找一般写成非递归的。

/*
    @function:在有序序列A中查找key的位置
    @param1: A --- 有序序列A
    @param2: [x,y) 待查找的左闭右开区间[x,y)
    @param3: key 待查找的值
    @return: 返回key的位置，若未找到则返回-1
    @explain: 若序列中有多个key，则返回的是中间的那个key的位置
*/
int BinarySearch(int *A, int x, int y, int key){
    while (x < y){
        int mid = x + (y - x) / 2;
        if (A[mid] == key){
            return mid;
        }
        else if (A[mid] > key){
            y = mid;
        }
        else{
            x = mid + 1;
        }
    }//while(x<y)
    return 0;
}

　　如果数组中有多个元素的值为key，那么上面的函数返回的是中间的那一个，有时这样的结果并不理想，我们可能需要求出key的区间（即上下界）

　　因此下面的函数实现的是二分查找求下界，当key存在时返回它出现的第一个位置。

　　如果不存在，返回这样一个下标i，在此处插入key（原来的元素A[i],a[i+1]...全都往后移动一个位置）后序列仍然有序

/*
    @funtion:二分查找求下界
    @param1: A 有序序列
    @param2: [x, y)待查找的左闭右开区间
    @param3: 待查找的值
    @return: 返回第一个key出现的位置，
             若不存在key则返回一个位置，在这个位置插入key该序列仍然有序
*/
int Lower_Bound(int *A, int x, int y, int key){
    while (x < y){
        int mid = x + (y - x) / 2;
        if (A[mid] >= key){
            y = mid;
        }
        else{
            x = mid + 1;
        }
    }//while(x < y)
    return x;
}

　　程序分析：

　　　　首先，返回值不仅可能是x,x+1,x+2,...,y-1,还可能是y，如果v大于A[y-1]时只能插入这里了。

　　　　因此，查找的区间为[x,y),返回值的区间可能为[x,y]。另：

　　　　A[m] = key : 至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间变为[x,m]

　　　　A[m] > key : 所求位置不可能在后面，但有可能是m，因此区间变为[x,m]

　　　　A[m] < key : m和前面都不可行，因此区间变为[m+1,y]

　　　　此外，该程序不会发生死循环，死循环会发生则可能在只剩一个元素时发生，因为有多个元素时都会缩短区间再次判断，

　　　　假设只剩一个元素， 设其区间为[x, x+1)，则 mid = x + (x+1-x)/2 = x;

　　　　不管区间如何变, [x, x) 或 [x+1, x+1)，循环都会结束，因而不会产生死循环

　　类似的，可以实现二分查找求上界，

　　当序列中存在key时，返回它出现的最后一个位置的后面一个位置

　　如果不存在，则返回这样一个下标i，在此处插入key后序列仍然有序

/*
    @function:二分查找求上界
    @param1: A 有序序列
    @param2: [x,y)待查找的左闭右开区间
    @param3: key 待查找的值
    @return: key存在时,返回最后一个key出现的位置的后一个位置(注意是后一个)
             若不存在key,则返回一个位置,在该位置插入key原序列仍然有序
*/
int Upper_Bound(int *A, int x, int y, int key){
    while (x < y){
        int mid = x + (y - x) / 2;
        if (A[mid] <= key){
            x = mid + 1;
        }
        else{
            y = mid;
        }
    }//while(x<y)
    return x;
}

　　程序分析：

　　　　注意程序返回的是最后一个key的后一个位置，

　　　　同理，查找的区间为[x,y),返回的区间为[x,y]，另：

　　　　A[m] = key时，m以及左边都不可能（因为返回的key的后一个），因此区间变为[m+1,y)

　　　　A[m] < key时，m以及左边的都不可能，因此区间变为[m+1,y)

　　　　A[m] > key时，m的右边已经不可能，但m仍然可能（若A[m-1]<=key的话），因此区间变为[x,m)

　　其实，STL的algorithm中实现了二分查找求上下界，分别为lower_bound()和upper_bound()

　　函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素的迭代器。如果所有元素都小于val，则返回last

　　要记住：函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。

　　　　　　如果所有元素都小于val，则返回last的位置，且last的位置是越界的！！

　　同理，函数upper_bound()返回的在前闭后开区间查找的关键字的上界，

　　如一个数组number序列1,2,2,4.upper_bound(2)后，返回的位置是3（下标）也就是4所在的位置,

　　同样，如果插入元素大于数组中全部元素，返回的是last。（注意：此时数组下标越界！！）

　　返回查找元素的最后一个可安插位置，也就是“元素值>查找值”的第一个元素的位置