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  • 数组中的逆序对

    题目:

    在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

    输入描述:

    题目保证输入的数组中没有的相同的数字

    数据范围:

    对于%50的数据,size<=10^4

    对于%75的数据,size<=10^5

    对于%100的数据,size<=2*10^5

    示例1

    输入

    1,2,3,4,5,6,7,0

    输出

    7

    思路分析(剑指offer):

            看到这个题目,我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
            我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿ta和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
                                                          
    (a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
    (b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
    (c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
    (d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
           在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。
          接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
          我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保 辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。
         

    过程总结:

    先把数组分隔成子数组,统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。

    参考代码:

    public class InversePairs {
        private int count = 0;
    
        public int InversePairs(int[] a) {
            if (a == null || a.length == 0)
                return -1;
            mergeSort(a, 0, a.length - 1);
            return count;
        }
    
        public void mergeSort(int[] a, int left, int right) {
            if (left < right) {
                int mid = (left + right) / 2;
                mergeSort(a, left, mid);
                mergeSort(a, mid + 1, right);
                merge(a, left, mid, right);
            }
        }
    
        public void merge(int[] a, int left, int mid, int right) {
            int[] tmp = new int[right - left + 1];
            int t = right - left;//临时数组下标
            int l = mid;
            int r = right;
            while (l >= left && r >= mid + 1) {
                if (a[l] > a[r]) {
                    count += (r - mid);
                    tmp[t--] = a[l--];
                    if (count >= 1000000007) {
                        count %= 1000000007;
                    }
                } else {
                    tmp[t--] = a[r--];
                }
            }
            while (l >= left) {
                tmp[t--] = a[l--];
            }
            while (r >= mid + 1) {
                tmp[t--] = a[r--];
            }
            for (int i = 0; i <= right - left; i++) {
                a[left + i] = tmp[i];
            }
        }
    
        @Test
        public void testSolution() {
            int[] a = { 364, 637, 341, 406, 747, 995, 234, 971, 571, 219, 993, 407,
                    416, 366, 315, 301, 601, 650, 418, 355, 460, 505, 360, 965,
                    516, 648, 727, 667, 465, 849, 455, 181, 486, 149, 588, 233,
                    144, 174, 557, 67, 746, 550, 474, 162, 268, 142, 463, 221, 882,
                    576, 604, 739, 288, 569, 256, 936, 275, 401, 497, 82, 935, 983,
                    583, 523, 697, 478, 147, 795, 380, 973, 958, 115, 773, 870,
                    259, 655, 446, 863, 735, 784, 3, 671, 433, 630, 425, 930, 64,
                    266, 235, 187, 284, 665, 874, 80, 45, 848, 38, 811, 267, 575 };
            System.out.println(InversePairs(a));//2519
        }
    }
         
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