51_1228 序列求和（伯努利数）（转）

转自：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/38929067 (ACdreamers)

分析：本题题意就是求自然数的幂和，但是它的case比较多。对于求幂和本身就需要的时间复杂度，如果继

     续用上述方法来求自然数的幂和，5000个case会TLE，接下来介绍另一个求自然数幂和的方法，它是基于伯

     努利数的，公式描述如下

 

    

 

     可以看出只要我们预处理出每一项，就可以在线性时间内求得自然数的幂和。前面的倒数可以用递推法求逆元

     预处理，组合数也可以预处理，也可以先预处理，现在关键是如何预处理伯努利数。

 

     伯努利数满足条件，且有

 

    

 

     那么继续得到

 

    

 

     这就是伯努利数的递推式，逆元部分同样可以预处理。

　　　　另外，此题中我还学到了一种O(n)的递推法求前n个逆元的方法，详情见下篇转的博客。

　　1228 序列求和

题目来源： HackerRank

基准时间限制：3 秒 空间限制：131072 KB 分值: 160 难度：6级算法题

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T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n)。给出n和k，求S(n)。

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。

由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 5000)
第2 - T + 1行：每行2个数，N, K中间用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000)

Output

共T行，对应S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

3
5 3
4 2
4 1

Output示例

225
30
10

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<iomanip>    
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const LL N = 2050;
    const LL maxn = 2050;
    const LL mod = 1000000007;
    LL n, k;
    
    LL comb[maxn][maxn], ber[maxn];
    
    void ex_gcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL &y){
        if(b==0){
            x =  1; y = 0; d = a; 
            return ;
        }
        ex_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
    
    LL inv(LL a, LL p){
        LL x, y, d;
        ex_gcd(a, p, d, x, y);
        if(d==1)    return (x%p + p)%p;
        else return 0;
    }
    
    void init_comb(){
        comb[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i<maxn; ++i){
            comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
            for(int j = 1 ; j<i; ++j){
                comb[i][j] = (comb[i-1][j-1]%mod + comb[i-1][j]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    //求伯努利数
    void init_ber(){
        ber[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i<maxn; ++i){
            LL ans = 0;
            for(int j = 0 ; j<i ; ++j)
                ans = (ans + comb[i+1][j]*ber[j])%mod;
            ans = -ans*inv(i+1, mod)%mod;
            ber[i] = (ans%mod + mod)%mod;
        }
    }

    //LL Inv[maxn];
    /*void bi(){
    Inv[1] = 1;  
   a for(int i=2; i<N; i++)  
        Inv[i] = (mod - mod / i) * Inv[mod % i] % mod;  
    //预处理伯努利数 
        for(int i= 1; i<100; ++i)    cout<<Inv[i]<<" ";
        cout<<endl;
        for(int j= 1; j<100 ; ++j)    cout<<inv(j,mod)<<" "; 
    }*/
    int main(){
        int T;
        cin>>T;
        init_comb();
        init_ber();
        while(T--){
            scanf("%lld %lld", &n, &k);
            n %= mod;
            LL ans = 0;
            LL pow = (n+1)%mod;
            for(int i = 1; i<=k+1 ; ++i){
                ans = (ans + comb[k+1][i]*ber[k+1-i]%mod*pow%mod)%mod;    
                pow = (pow*(n+1))%mod;
            }
            ans = ans*inv(k+1, mod)%mod;
            ans = (ans%mod + mod)%mod;
            printf("%lld
", ans);     
        }
    }