本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共14道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上、拍成图片，并上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2019A01] 请用教材第1章“行列式”中的方法求出下列 $n$ 阶行列式的值 (注意: 不能使用教材第2章“矩阵”中的“矩阵乘法”、“Cauchy-Binet公式”和“降阶公式”等方法):
(1) $|A|=egin{vmatrix} 2a_1 & a_1+a_2 & cdots & a_1+a_n \ a_2+a_1 & 2a_2 & cdots & a_2+a_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_n+a_1 & a_n+a_2 & cdots & 2a_n \ end{vmatrix}$,
(2) $|B|=egin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & cdots & a_1+a_n \ a_2+a_1 & 0 & cdots & a_2+a_n \ vdots & vdots & & vdots \ a_n+a_1 & a_n+a_2 & cdots & 0 \ end{vmatrix}$.
[问题2019A02] 设 2019 阶行列式 $$|A|=egin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & cdots & x_1^{2018} \ 1 & x_2 & x_2^2 & cdots & x_2^{2018} \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ 1 & x_{2019} & x_{2019}^2 & cdots & x_{2019}^{2018} \ end{vmatrix}.$$ 设 $|A|$ 的代数余子式分别为 $A_{ij}\,(1leq i,jleq 2019)$, 试求 $sumlimits_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}$.
[问题2019A03] 有限集合 $T$ 到自身上的一个双射 (即既单又满的映射) 称为 $T$ 上的一个置换 (Permutation), 集合 $S={1,2,dots,n}$ 的全体置换构成的集合记为 $S_n$. 对任一 $sigmain S_n$, $(sigma(1),sigma(2),dots,sigma(n))$ 是 $S$ 的一个全排列; 反之, 对 $S$ 的任一全排列 $(k_1,k_2,dots,k_n)$, 定义 $sigma(i)=k_i\,(forall\,1leq ileq n)$, 则 $sigma$ 是 $S$ 的一个置换. 因此, 我们可以把 $S$ 的置换和全排列等同起来.
设 $sigma, auin S_n$, $ au$ 与 $sigma$ 的乘积 $ ausigma$ 定义为 $ ausigma(i)= au(sigma(i))\,(forall\,1leq ileq n)$ (其实就是映射的复合), 容易验证 $ ausigmain S_n$ 且乘法满足结合律. 设 $e:S o S$ 为恒等映射, 即 $e(i)=i\,(forall\,1leq ileq n)$, 则 $ein S_n$. 因为 $sigma:S o S$ 是双射, 所以其逆映射 $sigma^{-1}:S o S$ 也是双射, 即 $sigma^{-1}in S_n$, 并且满足 $sigma^{-1}sigma=sigmasigma^{-1}=e$ (以上事实说明: $n$ 阶置换全体 $S_n$ 构成一个群, 称为 $n$ 阶对称群).
设 $e_1,e_2,dots,e_n$ 是 $n$ 维标准单位列向量 (定义见高代教材第 109 页复习题 1), $sigmain S_n$, 定义矩阵 $$P_sigma=(e_{sigma(1)},e_{sigma(2)},dots,e_{sigma(n)}),$$ 称为相伴于置换 $sigma$ 的 $n$ 阶置换矩阵. 置换矩阵的等价定义是: $n$ 阶方阵 $P$ 的每行每列只有一个元素非零, 并且那些非零元素都等于 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $sigma, auin S_n$, 试证明以下结论 (第 3 小问说明: $n$ 阶置换矩阵全体 $mathcal{P}_n$ 构成一个群, 它是 $n$ 阶正交群 $O(n)$ 的子群, 并且 $P:S_n omathcal{P}_n$, $sigmamapsto P_sigma$, 是一个群同构):
(1) 第一类初等矩阵 $P_{ij}$ (定义见高代教材第 84 页), 基础循环矩阵 $J$ (定义见高代白皮书第 56 页的例 2.1) 和反单位阵 (定义见高代教材第 323 页第 5 行最右端的矩阵) 都是置换矩阵.
(2) $|P_sigma|=(-1)^{N(sigma)}$, 其中 $N(sigma)$ 是 $sigma$ 作为全排列的逆序数.
(3) $P_{ ausigma}=P_ au P_sigma$, $P_e=I_n$, $P_{sigma^{-1}}=P_sigma^{-1}=P_sigma'$.
(4) $AP_sigma$ 的列向量是 $A$ 的列向量的一个置换, 即 $AP_sigma$ 的第 $i$ 列是 $A$ 的第 $sigma(i)$ 列; $P_sigma'A$ 的行向量是 $A$ 的行向量的一个置换, 即 $P_sigma'A$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $sigma(i)$ 行.
[问题2019A04] 试求
(1) 与全体循环矩阵 (定义见高代白皮书第 59 页的例 2.12) 都乘法可交换的所有的 $n$ 阶方阵.
(2) 与全体置换矩阵 ${P_sigma,\,sigmain S_n}$ 都乘法可交换的所有的 $n$ 阶方阵.
[问题2019A05] 求下列 $n$ 阶方阵的行列式 (第四行的 $cdots$ 表示平移, 其余空白处元素都为零):
$$egin{pmatrix} a^2!+!bc & 2ab & b^2 & & & & & & & & \ 2ac & a^2!+!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & & \ c^2 & 2ac & a^2!+!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & \ & & & & & cdots & & & & & \ & & & & & & c^2 & 2ac & a^2!+!2bc & 2ab & b^2 \ & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2!+!2bc & 2ab \ & & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2!+!bc \ end{pmatrix}.$$
[问题2019A06] 证明: $n$ 阶非异阵 $A$ 仅通过第三类初等行变换就可变为 $mathrm{diag}{1,cdots,1,|A|}$.
注 本题是白皮书例 2.34 的推广.
[问题2019A07] 设循环矩阵 $$A=egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & cdots & n \ n & 1 & 2 & cdots & n-1 \ n-1 & n & 1 & cdots & n-2 \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ 2 & 3 & 4 & cdots & 1 \ end{pmatrix}.$$
(1) 请用白皮书例 2.52 的结论计算 $|A|$, 并与白皮书例 1.21 (行列式求和法) 的结果进行比较.
(2) 设 $A_{ij}$ 是 $A$ 的第 $(i,j)$ 元素的代数余子式, 求 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}$.
[问题2019A08] (1) 请用摄动法和初等变换法证明: $n$ 阶上三角阵 $A$ 的伴随阵 $A^*$ 也是上三角阵.
(2) 请用复旦高代教材第 130 页的习题 7 证明第 131 页的命题 3.5.1: 若向量组 $S$ 至少包含一个非零向量, 则 $S$ 必存在极大无关组.
(3) 请用形式行向量和相抵标准型理论证明复旦高代教材第 131 页的引理 3.5.1.
[问题2019A09] 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 2 阶方阵, 试求 $C(A)={Xin M_2(K)mid AX=XA}$.
提示 对任意的 $alphain K^2$, 考虑 $Aalpha$ 与 $alpha$ 之间的线性关系.
[问题2019A10] 求下列数域 $K$ 上线性空间 $V_1,V_2,V_3$ 的维数和一组基 (表示为基础矩阵的线性组合):
(1) $V_1={Xin M_{2n}(K)mid X'J+JX=0}$, 其中 $J=egin{pmatrix} 0 & I_n \ -I_n & 0 \ end{pmatrix}$;
(2) $V_2={Xin M_{2n+1}(K)mid X'M+MX=0}$, 其中 $M=egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & I_n \ 0 & I_n & 0 \ end{pmatrix}$;
(3) $V_3={Xin M_{2n}(K)mid X'N+NX=0}$, 其中 $N=egin{pmatrix} 0 & I_n \ I_n & 0 \ end{pmatrix}$.
[问题2019A11] 设 $A$ 为 $n\,(ngeq 3)$ 阶可逆实对称阵, 且 $A$ 的所有 $n-1$ 阶主子式都是零. 证明: $A$ 必有一个非零的 $n-2$ 阶主子式, 且所有非零的 $n-2$ 阶主子式都与 $|A|$ 反号.
[问题2019A12] 设 $A,B$ 均为数域 $K$ 上的 $m imes n$ 阶矩阵, 线性映射 $varphi:M_{n imes m}(K) o M_{m imes n}(K)$ 定义为 $varphi(X)=AXB$.
(1) 证明: 若 $m eq n$, 则 $varphi$ 不是线性同构;
(2) 试求 $mathrm{Ker}varphi$ 的维数和一组基.
[问题2019A13] (1) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $f:V o K$ 是线性函数, $0 eq vin V$. 定义映射 $varphi_{f,v}:V o V$ 为 $varphi_{f,v}(alpha)=alpha+f(alpha)cdot v$, 证明: $varphi_{f,v}$ 是 $V$ 上的线性变换 (称为初等线性变换).
(2) 设 $varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 证明: $varphi$ 是可逆初等线性变换的充要条件是 $varphi$ 在 $V$ 的某组基下的表示矩阵是初等阵.
[问题2019A14] 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 满足 $mathrm{tr}(A)=0$, 证明: $A$ 相似于一个主对角元全为 0 的矩阵.
提示 对任意的 $alphain K^n$, 考虑 $Aalpha$ 与 $alpha$ 之间的线性关系, 并对阶数进行归纳.