八、(本题10分) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n>1)$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 $Gamma={1,2,cdots,n}$, 两个指标 $i eq j$ 称为连通的, 如果存在一列指标 $i=i_1,i_2,cdots,i_k=j$, 使得 $a_{i_1i_2}<0$, $a_{i_2i_3}<0$, $cdots$, $a_{i_{k-1}i_k}<0$. 设指标集 $Gamma$ 分成 $m$ 个连通分支 $Gamma_1,Gamma_2,cdots,Gamma_m$, 即同一连通分支内的不同指标相连通, 不同连通分支之间的指标不连通. 证明: $r(A)=n-m$.
证明 通过行对换以及对称的列对换, 可将连通的指标放在一起, 从而 $A$ 相抵于 (合同于) 实对称阵 $mathrm{diag}{A_1,A_2,cdots,A_m}$, 其中 $A_i$ 是 $n_i$ 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 若 $r(A_i)=n_i-1$ 得证, 则 $$r(A)=sum_{i=1}^mr(A_i)=sum_{i=1}^m(n_i-1)=sum_{i=1}^mn_i-m=n-m.$$ 因此, 我们只要证明: 对满足题目条件的实对称阵 $A$, 当所有指标都连通时, $r(A)=n-1$ 即可. 由线性方程组的求解理论, 这等价于证明: 齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间 $V_A$ 的维数等于 $1$.
一方面, 设 $alpha=(1,1,cdots,1)'$, 则由题目条件可知 $mathbb{R}cdotalphasubseteq V_A$. 另一方面, 任取 $Ax=0$ 的一个解 $x_0=(a_1,a_2,cdots,a_n)'inmathbb{R}^n$, 即 $Ax_0=0$, 则有 $$0=x_0'Ax_0=sum_{i=1}^na_{ii}a_i^2+2sum_{1leq i<jleq n}a_{ij}a_ia_j.$$ 利用不等式 $2a_ia_jleq a_i^2+a_j^2$ 以及 $a_{ij}leq 0\,(forall\,i eq j)$ 可得: $$0=x_0'Ax_0geqsum_{i=1}^na_{ii}a_i^2+sum_{1leq i<jleq n}(a_i^2+a_j^2)a_{ij}=sum_{i,j=1}^na_{ij}a_i^2=sum_{i=1}^n(sum_{j=1}^na_{ij})a_i^2=0.$$ 因此, 上述不等式等号成立, 这当且仅当: 若 $a_{ij}<0$, 则必有 $a_i=a_j$. 由于所有的指标都连通, 故必有 $a_1=a_2=cdots=a_n$, 即 $x_0inmathbb{R}cdotalpha$. 因此, $V_A=mathbb{R}cdotalpha$, 从而 $r(A)=n-dim V_A=n-1$. $Box$
注 (1) 这道试题从代数曲面理论中的一个引理改编而来, 即光滑射影代数曲面上的曲线 (有效除子), 若收缩到一个点或为曲面纤维化的一条纤维, 则它的不可约分支之间的相交数构成的实对称阵是一个半负定矩阵. 在本题中, 由上述证明的后半部分可直接得到 $A$ 为半正定矩阵. 当然, 也可以这样证明: 对任意的 $t>0$, $A+tI_n$ 都是严格对角占优阵且主对角元素全大于零, 则由高代白皮书的例 8.28 可知对任意的 $t>0$, $A+tI_n$ 都是正定矩阵, 再由高代白皮书的例 8.40 可知 $A$ 为半正定矩阵.
(2) 由于本题具有较高的技巧, 故数学学院 19 级同学 (包括 18 级转专业同学) 中没有人完全做出, 其中得到 4 分的同学有: 蒋安 (18 级转专业), 陈建翔 (18 级转专业), 邹思远 (18 级转专业).