问题2014S01 设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是次数等于 2 的 (n) 元实系数多项式, (S) 是使得 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 (S={(b_1,b_2,cdots,b_n)inmathbb{R}^n\,|) (f(x_1,x_2,cdots,x_n)leq)(f(b_1,b_2,cdots,b_n)), (forall\,(x_1,x_2,cdots,x_n)inmathbb{R}^n})(cup)({(b_1,b_2,cdots,b_n)inmathbb{R}^n\,|) (f(x_1,x_2,cdots,x_n)geq)(f(b_1,b_2,cdots,b_n)), (forall\,(x_1,x_2,cdots,x_n)inmathbb{R}^n}). 假设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是关于未定元 (x_1,x_2,cdots,x_n) 的对称多项式并且 (S) 为有限非空集合, 证明: 存在 (binmathbb{R}) 使得 [S={(b,b,cdots,b)}.]
例 以下总是假设 (ngeq 2).
(1) (f(x_1,x_2,cdots,x_n)=x_1^2) 不是 (n) 元对称多项式, (S={(0,b_2,cdots,b_n)inmathbb{R}^n}) 是一个无限集, 此时上述问题的结论不成立.
(2) (f(x_1,x_2,cdots,x_n)=(x_1+x_2+cdots+x_n)^2) 是对称多项式, 但 (S={(b_1,b_2,cdots,b_n)inmathbb{R}^n\,|) (b_1+b_2+cdots+b_n=0}) 是无限集, 此时上述问题的结论不成立.
(3) (f(x_1,x_2,cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+cdots+x_n^2), (S={(0,0,cdots,0)}), 此时上述问题的结论成立.
注 上述问题改编自13级某位同学问我的非正式问题。他说：“高中老师说，对称多项式达到最大值或最小值的点一定形如 ((b,b,cdots,b)) 。”上面的例(2)告诉我们，他的高中老师说的是不对的，至少还差了条件，上述问题就是考虑了次数等于2的情形。问题的证明还是有一定难度的，希望大家能踊跃尝试各种方法进行解答。