[问题2014S01] 解答 因为 (f(x_1,cdots,x_n)) 为 (2) 次 (n) 元对称多项式, 故 [f(x_1,cdots,x_n)=asum_{i=1}^nx_i^2+2csum_{1leq i<jleq n}x_ix_j+dsum_{i=1}^nx_i+e,] 其中 (a,c,d,e) 为实数且 (a,c) 中至少有一个非零.
根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 (S) 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 (i) 个方程是 (f(x_1,cdots,x_n)) 关于未定元 (x_i) 的导数: [egin{cases} 2ax_1+2cx_2+cdots+2cx_n=-d, \ 2cx_1+2ax_2+cdots+2cx_n=-d, \ cdots cdots cdots cdots cdots \ 2cx_1+2cx_2+cdots+2ax_n=-d. end{cases} ]
上述线性方程组系数矩阵 (A) 的行列式值为: [ |A|=egin{vmatrix} 2a & 2c & cdots & 2c \ 2c & 2a & cdots & 2c \ vdots & vdots & vdots & vdots \ 2c & 2c & cdots & 2a end{vmatrix}=2^nBig(a+(n-1)cBig)(a-c)^{n-1}. ]
(1) 若 (a=c), 则 [f=aBig(sum_{i=1}^nx_iBig)^2+dBig(sum_{i=1}^nx_iBig)+e,] 此时能取到最值的点有无穷多个, 这与 (S) 是有限集合矛盾.
(2) 若 (a+(n-1)c=0), 即 (a=-(n-1)c), 则 [f=-csum_{1leq i<jleq n}(x_i-x_j)^2+dsum_{i=1}^nx_i+e.] 若 (d eq 0), 当 (x_1=x_2=cdots=x_n) 时, (f) 的取值可以充分大和充分小, 从而 (f) 没有最值, 这与 (S) 是非空集合矛盾; 若 (d=0), 当 (x_1=x_2=cdots=x_n) 时, (f) 有最值 (e), 但这与 (S) 是有限集合矛盾.
综上 (|A| eq 0), 即 (A) 是非异阵. 容易验证 [Aegin{bmatrix}1\ 1\ vdots \ 1 end{bmatrix}=2Big(a+(n-1)cBig)egin{bmatrix}1\ 1\ vdots \ 1 end{bmatrix},\,\,A^{-1}egin{bmatrix}1\ 1\ vdots \ 1 end{bmatrix}=frac{1}{2Big(a+(n-1)cBig)}egin{bmatrix}1\ 1\ vdots \ 1 end{bmatrix}.]
于是 (S) 中只有一个点, 其坐标满足: [egin{bmatrix}x_1\ x_2\ vdots \ x_n end{bmatrix}=A^{-1}egin{bmatrix}-d\ -d\ vdots \ -d end{bmatrix}=frac{-d}{2Big(a+(n-1)cBig)}egin{bmatrix}1\ 1\ vdots \ 1 end{bmatrix}.quadBox]
通过上述问题的解答, 事实上我们还可以得到进一步的结论.
加强结论 设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是次数等于 2 的 (n) 元实系数多项式, (S) 是使得 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是关于未定元 (x_1,x_2,cdots,x_n) 的对称多项式并且 (S) 为非空集合, 则存在 (binmathbb{R}) 使得 ((b,b,cdots,b)in S.)
我们还可以提出下面更一般的问题 (我不知道答案, 请有兴趣的同学自己探索):
问题 设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是次数等于 (2m) 的 (n) 元实系数多项式, (S) 是使得 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)) 是关于未定元 (x_1,x_2,cdots,x_n) 的对称多项式并且 (S) 为非空集合, 问: 是否存在 (binmathbb{R}) 使得 ((b,b,cdots,b)in S？)