[问题2014S13] (1) 设 (A) 是数域 (mathbb{K}) 上的 (n) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 (1) 的下三角阵 (Lin M_n(mathbb{K})) 以及上三角阵 (Uin M_n(mathbb{K})) 使得 (A=LU), 则称方阵 (A) 存在 (LU) 分解 ((L) 表示下三角, (U) 表示上三角). 证明: (n) 阶非异阵 (A) 存在 (LU) 分解的充分必要条件是 (A) 的 (n) 个顺序主子式都不等于零. 此时, (A) 的 (LU) 分解是唯一的.
(2) 设 (A) 是 (n) 阶正定实对称阵, 证明: 存在唯一的主对角元全大于零的上三角阵 (Cin M_n(mathbb{R})) 使得 (A=C'C). 正定实对称阵 (A) 的上述分解称为 Cholesky 分解.