[问题2014A01] 解答三（升阶法，由董麒麟同学提供）
引入变量 (y)，将 (|A|) 升阶，考虑如下行列式:
[|B|=egin{vmatrix} 1 & x_1-a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \ 1 & x_2-a & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & x_n-a & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) \ 1 & y-a & y(y-a) & y^2(y-a) & cdots & y^{n-1}(y-a) end{vmatrix}.]
将 (|B|) 中每一列按顺序乘以 (a) 加到后一列上，则有
[|B|=egin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & cdots & x_1^n \ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & cdots & x_2^n \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & x_n^3 & cdots & x_n^n \ 1 & y & y^2 & y^3 & cdots & y^n end{vmatrix}=prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)prod_{i=1}^n(y-x_i).cdots(1)]
另一方面，将 (|B|) 按最后一行进行展开，有
[|B|=(-1)^nprod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)prod_{i=1}^n(x_i-a)+(-1)^{n+1}|A|(y-a)+y(y-a)D,cdots(2)]
其中最后一行后 (n-1) 项的展开式提出公因子 (y(y-a)), 剩余部分记为 (D) (它具体是多少并不重要). 将 (1) 和 (2) 都看成是关于 (y) 的多项式，当 (a eq 0) 时，比较其常数项 (换言之，令 (y=0) 即可)，有
[prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)prod_{i=1}^nx_i=prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)prod_{i=1}^n(x_i-a)+a|A|,]
从而有
[|A|=frac{1}{a}prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)Big(prod_{i=1}^nx_i-prod_{i=1}^n(x_i-a)Big).]
当 (a=0) 时，比较一次项 (y) 前面的系数，有
[|A|=prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)Big(sum_{i=1}^nx_1cdotshat{x}_icdots x_nBig). quadBox]