[问题2014A12] 解答
将问题转换成几何的语言: 设 (varphi,psi) 是 (n) 维线性空间 (V) 上的线性变换, 满足 (varphipsi=psivarphi=0), (mathrm{r}(varphi)=mathrm{r}(varphi^2)), 求证: [mathrm{r}(varphi+psi)=mathrm{r}(varphi)+mathrm{r}(psi).cdots(1)]
要证明 (1) 式, 我们只要证明 [mathrm{Im}(varphi+psi)=mathrm{Im\,}varphioplusmathrm{Im\,}psi,cdots(2)] 再两边同取维数即可. 在证明 (2) 式之前, 我们先引用复旦高代书第 208 页复习题 37 的结论:
结论 设 (varphi) 是 (n) 维线性空间 (V) 上的线性变换, 满足 (mathrm{r}(varphi)=mathrm{r}(varphi^2)), 则 [V=mathrm{Ker\,}varphioplusmathrm{Im\,}varphi.cdots(3)]
(2) 式的证明分成两步.
第一步证明 (mathrm{Im\,}varphi+mathrm{Im\,}psi=mathrm{Im\,}varphioplusmathrm{Im\,}psi). 由条件 (varphipsi=0) 可得 (mathrm{Im\,}psisubseteqmathrm{Ker\,}varphi), 再由 (3) 式即得 (mathrm{Im\,}varphicapmathrm{Im\,}psi=0), 从而上述和为直和.
第二步证明 (mathrm{Im}(varphi+psi)=mathrm{Im\,}varphi+mathrm{Im\,}psi). 由像空间的定义即得 (mathrm{Im}(varphi+psi)subseteqmathrm{Im\,}varphi+mathrm{Im\,}psi). 反之, 对 (mathrm{Im\,}varphi+mathrm{Im\,}psi) 中任一向量 (varphi(alpha)+psi(eta)), 其中 (alpha,etain V), 考虑 (alpha,eta) 关于 (3) 式的分解: [alpha=alpha_1+varphi(u),\,\,\,\,eta=eta_1+varphi(v),\,\,\,\,alpha_1,eta_1inmathrm{Ker\,}varphi,\,\,u,vin V.] 于是 egin{eqnarray*}varphi(alpha)+psi(eta)&=&varphi(alpha_1+varphi(u))+psi(eta_1+varphi(v))=varphi^2(u)+psi(eta_1) \ &=& (varphi+psi)(eta_1+varphi(u))inmathrm{Im}(varphi+psi), end{eqnarray*} 这就证明了第二步, 从而完成了 (2) 式的证明. (Box)
注 在学了矩阵的 Jordan 标准形理论之后, 我们可以给出 [问题2014A12] 的一个十分简洁的代数证明.