[问题2015S01] 设 (M_n(mathbb{R})) 是 (n) 阶实方阵全体构成的实线性空间, (varphi) 是 (M_n(mathbb{R})) 上的线性变换, 使得对于给定的 (A,Bin M_n(mathbb{R})), 或者 (varphi(AB)=varphi(A)varphi(B)) 成立, 或者 (varphi(AB)=varphi(B)varphi(A)) 成立. 证明: 或者 (varphi(AB)=varphi(A)varphi(B)) 对任意的 (A,Bin M_n(mathbb{R})) 都成立, 或者 (varphi(AB)=varphi(B)varphi(A)) 对任意的 (A,Bin M_n(mathbb{R})) 都成立.
提示 可以利用线性空间的性质 (复旦高代书 P164 习题 11) 或多元多项式的整性 (复旦高代书 P242 命题 5.8.1) 来证明.
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