八、(本题10分) 设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 为 $V$ 上的线性变换. 子空间 $C(varphi,alpha)=L(alpha,varphi(alpha),varphi^2(alpha),cdots)$ 称为 $varphi$ 关于 $V$ 中向量 $alpha$ 的循环子空间. 若非零多项式 $f(x)in K[x]$ 满足 $f(varphi)(alpha)=0$, 则称 $f(x)$ 是 $varphi$ 在 $alpha$ 处的零化多项式.
(1) 证明: 对 $V$ 中任一非零向量 $alpha$, 必存在 $varphi$ 在向量 $alpha$ 处的零化多项式.
(2) 设 $V=C(varphi,alpha_1)igoplus C(varphi,alpha_2)igopluscdotsigoplus C(varphi,alpha_m)$, 其中 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m$ 是 $V$ 中的非零向量, $f_i(x)$ 是 $varphi$ 在 $alpha_i$ 处的零化多项式. 证明: 若 $f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式, 则 $varphi$ 的任一不变子空间必为 $igopluslimits_{iin I}C(varphi,alpha_i)$ 的形式, 其中 $I$ 是 ${1,2,cdots,m}$ 的子集 (注: $I$ 为空集时对应于零子空间).
分析 本题是新白皮书第 202 页例 4.47 的推广, 例 4.47 是零化多项式都是一次多项式的情形, 显然它的证明完全不能延拓到本题, 我们必须寻找新的方法. 本题的技巧就是互素多项式的应用 (参考白皮书第 256 页的 5.2.9 节) 以及中国剩余定理 (它的证明也是互素多项式的应用, 也可以直接用互素多项式的讨论替代它). 下面我们给出第二问的两种证明, 虽然它们本质上是一样的, 但考虑问题的出发点还是不同的.
证明 (1) 由于 $dim V=n$, 故 $alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha),varphi^n(alpha)$ 必线性相关, 即存在不全为零的数 $c_0,c_1,cdots,c_{n-1},c_n$, 使得 $$c_0alpha+c_1varphi(alpha)+cdots+c_{n-1}varphi^{n-1}(alpha)+c_nvarphi^n(alpha)=0.$$ 令 $f(x)=c_0+c_1x+cdots+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n$, 则 $f(x) eq 0$ 且 $f(varphi)(alpha)=0$.
(2) 证法一 任取 $V$ 的一个非零 $varphi$-不变子空间 $U$, 定义 $$I={iin [1,m]mid exists\,etain U,\,\,eta=eta_1+cdots+eta_i+cdots+eta_m,\,\,eta_jin C(varphi,alpha_j),\,\,eta_i eq 0}.$$ 显然, $I eqemptyset$ 并且 $Usubseteq igopluslimits_{iin I}C(varphi,alpha_i)$. 下面证明对任一 $iin I$, $C(varphi,alpha_i)subseteq U$ 成立, 从而结论成立. 不妨取 $etain U$, $eta=eta_1+eta_2+cdots+eta_m$, 其中 $eta_iin C(varphi,alpha_i)$ 且 $eta_1 eq 0$, 我们只要证明 $C(varphi,alpha_1)subseteq U$ 即可. 设 $eta_i=g_i(varphi)(alpha_i)$, 其中 $g_i(x)in K[x]\,(1leq ileq m)$. 因为 $eta_1 eq 0$, 故 $f_1(x) mid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可约多项式, 从而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 于是存在 $u(x),v(x)in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+g_1(x)v(x)=1$. 代入 $x=varphi$ 可得 $$f_1(varphi)u(varphi)+g_1(varphi)v(varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $alpha_1$ 可得 $$alpha_1=u(varphi)f_1(varphi)(alpha_1)+v(varphi)g_1(varphi)(alpha_1)=v(varphi)(eta_1).$$ 因为 $f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)$ 两两互素, 由中国剩余定理可知, 存在 $h(x)in K[x]$, 使得 $$h(x)equiv v(x) pmod{f_1(x)},\,\,\,\,h(x)equiv 0 pmod{f_j(x)},\,\,j=2,cdots,m,$$ 从而 $$h(varphi)(eta)=h(varphi)(eta_1)+h(varphi)(eta_2)+cdots+h(varphi)(eta_m)=v(varphi)(eta_1)=alpha_1in U.$$ 因为 $C(varphi,alpha_1)$ 是由 $alpha_1$ 生成的 $varphi$-不变的循环子空间, 故有 $C(varphi,alpha_1)subseteq U$.
证法二 设 $p_i:V o C(varphi,alpha_i)$ 是从 $V$ 到其直和因子 $C(varphi,alpha_i)$ 上的投影映射, 任取 $V$ 的一个非零 $varphi$-不变子空间 $U$, 定义 $U_i=p_i(U)$, 则容易验证 $U_i$ 是 $C(varphi,alpha_i)$ 的子空间. 显然我们有 $$Usubseteq U_1+U_2+cdots+U_m=U_1oplus U_2opluscdotsoplus U_m.$$ 首先, 我们来证明上述包含关系是相等关系, 为此不失一般性, 我们只要证明 $U_1subseteq U$ 即可. 任取 $eta_1in U_1$, 并设它是 $etain U$ 的投影, 即有 $eta=eta_1+eta_2+cdots+eta_m$, 其中 $eta_iin U_i$. 因为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)cdots f_m(x)$ 互素, 故存在 $u(x),v(x)in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+f_2(x)cdots f_m(x)v(x)=1$. 代入 $x=varphi$ 可得 $$f_1(varphi)u(varphi)+f_2(varphi)cdots f_m(varphi)v(varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $eta_1$ 可得 $$eta_1=u(varphi)f_1(varphi)(eta_1)+v(varphi)f_2(varphi)cdots f_m(varphi)ig(eta-(eta_2+cdots+eta_m)ig)$$$$=v(varphi)f_2(varphi)cdots f_m(varphi)(eta)in U,$$ 从而 $U_1subseteq U$ 成立, 因此 $$U=U_1oplus U_2opluscdotsoplus U_m.$$ 其次, 注意到 $$varphi(eta)=varphi(eta_1)+varphi(eta_2)+cdots+varphi(eta_m),\,\,\,\,etain U,\,\,eta_iin U_isubseteq C(varphi,alpha_i),$$ 由于 $C(varphi,alpha_i)$ 是 $varphi$-不变的, 故 $varphi(eta_i)in C(varphi,alpha_i)$ 也是 $varphi(eta)in U$ 在 $C(varphi,alpha_i)$ 上的投影, 于是 $varphi(eta_i)in U_i$, 这说明 $U_i$ 是 $C(varphi,alpha_i)$ 的 $varphi$-不变子空间. 最后, 为了证明本题结论, 我们只要证明 $C(varphi,alpha_i)$ 只有平凡的 $varphi$-不变子空间即可. 不妨设 $U_1$ 是 $C(varphi,alpha_1)$ 的非零 $varphi$-不变子空间, 任取 $0 eqeta_1in U_1$, 并设 $eta_1=g_1(varphi)(alpha_1)$, 其中 $g_1(x)in K[x]$. 因为 $eta_1 eq 0$, 故 $f_1(x) mid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可约多项式, 从而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 于是存在 $w(x),t(x)in K[x]$, 使得 $f_1(x)w(x)+g_1(x)t(x)=1$. 代入 $x=varphi$ 可得 $$f_1(varphi)w(varphi)+g_1(varphi)t(varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $alpha_1$ 可得 $$alpha_1=w(varphi)f_1(varphi)(alpha_1)+t(varphi)g_1(varphi)(alpha_1)=t(varphi)(eta_1)in U_1.$$ 因为 $C(varphi,alpha_1)$ 是由 $alpha_1$ 生成的 $varphi$-不变的循环子空间, 故 $U_1=C(varphi,alpha_1)$ 成立, 结论得证. $Box$
注 本题15级只有谢灵尧同学和王昊越同学完全做出.