[问题2016S01] 设 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0$ 是整系数首一多项式, 满足: $|a_0|$ 是素数且 $$|a_0|>1+sum_{i=1}^{n-1}|a_i|,$$ 证明: $f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式.
注 上述不可约多项式的判别法称为 Osada 定理.
[问题2016S02] (1) 设 $varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $V$ 有一个直和分解: $$V=V_1oplus V_2opluscdotsoplus V_m,$$ 其中每个 $V_i$ 都是 $varphi$-不变子空间. 设 $lambda_0$ 是 $varphi$ 的特征值, $V_0={vin Vmid varphi(v)=lambda_0v}$ 为对应的特征子空间, $V_{i,0}={vin V_imid varphi(v)=lambda_0v}$ 为 $V_i$ 的子空间 ($i=1,cdots,m$). 证明: $$V_0=V_{1,0}oplus V_{2,0}opluscdotsoplus V_{m,0}.$$
(2) 设 $n$ 阶方阵 $A=mathrm{diag}{A_1,A_2,cdots,A_m}$ 为分块对角阵, 其中 $A_i$ 是 $n_i$ 阶方阵. 任取 $A_i$ 的特征值 $lambda_i$ 和特征向量 $0 eqalpha_iinmathbb{C}^{n_i}$, 证明: 可在 $alpha_i$ 的上下添加适当多的零, 得到非零向量 $widetilde{alpha}_iinmathbb{C}^n$, 使得 $Awidetilde{alpha}_i=lambda_iwidetilde{alpha}_i$, 即 $widetilde{alpha}_i$ 是 $A$ 关于特征值 $lambda_i$ 的特征向量, 称为 $alpha_i$ 的延拓.
(3) 假设同 (2), 任取 $A$ 的特征值 $lambda_0$, 并设 $lambda_0$ 是 $A_{i_1},cdots,A_{i_r}$ 的特征值, 但不是其他 $A_j\,(1leq jleq m,\,j eq i_1,cdots,i_r)$ 的特征值, 证明: $A$ 关于特征值 $lambda_0$ 的特征子空间的一组基可取为 $A_{i_k}\,(k=1,cdots,r)$ 关于特征值 $lambda_0$ 的特征子空间的一组基的延拓的并集.
[问题2016S03] (1) $n$ 元非零复系数多项式 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 的零点集 $Z(f)={(a_1,a_2,cdots,a_n)inmathbb{C}^nmid f(a_1,a_2,cdots,a_n)=0}$ 称为 $mathbb{C}^n$ 中的一个超曲面. 证明: 若把线性同构 $M_n(mathbb{C})congmathbb{C}^{n^2}$ 看成是等同, 则所有不可对角化的 $n$ 阶复矩阵包含在 $mathbb{C}^{n^2}$ 的一个超曲面中.
(2) 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在 $n$ 阶矩阵 $A(t)=(a_{ij}(t))$, 其中 $a_{ij}(t)$ 是关于 $t$ 的多项式, 使得 $A(0)=A$, 即 $a_{ij}(0)=a_{ij}$ 对任意的 $i,j$ 都成立, 并且当 $0<tll 1$ 时, $A(t)$ 都是可对角化的矩阵.
注 上述结论告诉我们: 可对角化的矩阵“远远”比不可对角化的矩阵来的多, 并且可取到一列可对角化的矩阵“逼近”任一不可对角化的矩阵 (想象一下它们的几何意义).
[问题2016S04] 设 $n$ 阶方阵 $A$ 适合多项式 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+cdots+a_1x+a_0$, 其中 $|a_m|>sumlimits_{i=0}^{m-1}|a_i|$. 证明: 矩阵方程 $2X+AX=XA^2$ 只有零解.
[问题2016S05] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在正数 $delta$, 使得对任意的 $sin(0,delta)$, 下列矩阵均可对角化: $$A(s)=egin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22}+s^2 & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}+s^n end{pmatrix}.$$
注 本题由楼红卫教授提供.
[问题2016S06] (1) 设 $A(lambda)=(a_{ij}(lambda))$ 是 $n$ 阶 $lambda$-矩阵, 则其行列式定义为 $$|A(lambda)|=sum_{(i_1,i_2,cdots,i_n)in S_n}(-1)^{N(i_1,i_2,cdots,i_n)}a_{i_11}(lambda)a_{i_22}(lambda)cdots a_{i_nn}(lambda).$$ 利用上述定义证明: $n$ 阶 $lambda$-矩阵的行列式满足九条性质, 其中前八条参考教材的第 1.3 节和第 1.4 节, 第九条性质参考教材的定理 1.4.1 和定理 1.4.2.
(2) 证明: $lambda$-矩阵的行列式满足 Laplace 定理和 Cauchy-Binet 公式. 特别地, 设 $A(lambda),B(lambda)$ 为 $n$ 阶 $lambda$-矩阵, 则 $$|A(lambda)cdot B(lambda)|=|A(lambda)|cdot |B(lambda)|,$$ 即 $lambda$-矩阵乘积的行列式等于其行列式的乘积.
(3) 设 $n\,(ngeq 2)$ 阶 $lambda$-矩阵 $A(lambda)$ 的伴随矩阵为 $A(lambda)^*$, 它的元素即为 $A(lambda)$ 中元素的代数余子式, 因此 $A(lambda)^*$ 也是一个 $n$ 阶 $lambda$-矩阵. 设 $A(lambda),B(lambda)$ 为 $n\,(ngeq 2)$ 阶 $lambda$-矩阵, 证明 $lambda$-矩阵的伴随矩阵满足如下性质:
(3.1) $A(lambda)A(lambda)^*=A(lambda)^*A(lambda)=|A(lambda)|I_n$;
(3.2) $(A(lambda)B(lambda))^*=B(lambda)^*A(lambda)^*$;
(3.3) $|A(lambda)^*|=|A(lambda)|^{n-1}$;
(3.4) $(A(lambda)^*)^*=|A(lambda)|^{n-2}A(lambda)$.
(4) 设 $Ain M_n(mathbb{K})$ 的特征多项式 $f(lambda)=|lambda I_n-A|$, 试对特征矩阵 $lambda I_n-A$ 利用 (3.1) 证明 Cayley-Hamilton 定理, 即 $f(A)=0$.
(5) 设 $A(lambda)$ 为 $n$ 阶 $lambda$-矩阵, 证明下列结论等价:
(5.1) $A(lambda)$ 是可逆 $lambda$-矩阵；
(5.2) $A(lambda)$ 的行列式是非零常数;
(5.3) $A(lambda)$ 的相抵标准型是 $I_n$;
(5.4) $A(lambda)$ 只通过 $lambda$-矩阵的初等行变换或初等列变换就可变为 $I_n$;
(5.5) $A(lambda)$ 是有限个初等 $lambda$-矩阵的乘积,
上述结论之一成立时, $A(lambda)^{-1}=dfrac{1}{|A(lambda)|}A(lambda)^*$.
注 上述结论的 (2) 和 (5) 将会在讲授教材第 7.2 节时给出证明.
[问题2016S07] 设 $A$ 为 3 阶实矩阵, 满足 $AA'=k^2I_3$ 且 $|A|=k^3$, 其中 $k$ 是非负实数. 求证: 存在实数 $tin[-1,3]$, 使得 $$A^3-tkA^2+tk^2A-k^3I_3=0.$$
[问题2016S08] 试用线性空间理论以及多项式理论重新证明教材中的推论 7.3.4: 设 $mathbb{F}subseteqmathbb{K}$ 是两个数域, $A,B$ 是 $mathbb{F}$ 上的两个矩阵, 则 $A,B$ 在 $mathbb{F}$ 上相似当且仅当 $A,B$ 在 $mathbb{K}$ 上相似.
提示 将 $mathbb{K}$ 看成是 $mathbb{F}$ 上的线性空间, 当 $dim_{mathbb{F}}mathbb{K}<infty$ 时, 把基写出并把 $mathbb{K}$ 上的过渡矩阵写成 $mathbb{F}$ 上矩阵的 $mathbb{K}$-线性组合, 然后再利用多元多项式理论得到 $mathbb{F}$ 上的过渡矩阵; 当 $dim_{mathbb{F}}mathbb{K}=infty$ 时, 由 Zorn 引理可取到一组基 (个数无限), 重复上述讨论时仍可回到有限的情形.
[问题2016S09] 设 $V$ 是数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 设 $0 eq vin V$, 多项式 $g(lambda)inmathbb{K}[lambda]$, 若 $g(varphi)(v)=0$, 则称 $g(lambda)$ 为 $varphi$ 在 $v$ 处的零化多项式. 若首一多项式 $m_v(lambda)inmathbb{K}[lambda]$ 是 $varphi$ 在 $v$ 处所有非零零化多项式中的次数最小者, 则称 $m_v(lambda)$ 为 $varphi$ 在 $v$ 处的极小多项式 (当固定 $varphi$ 时, $m_v(lambda)$ 简称为 $v$ 的极小多项式).
(1) 证明: 对任意的 $0 eq vin V$, 其极小多项式 $m_v(lambda)$ 存在并且唯一 (先证基本性质: 极小多项式整除任意的零化多项式).
(2) 设 $0 eq vin V$, 由 ${v,varphi(v),varphi^2(v),cdots}$ 张成的子空间记为 $C(varphi,v)$, 称为 $varphi$ 的由 $v$ 生成的循环子空间 (这是包含 $v$ 的最小的 $varphi$-不变子空间), $v$ 称为循环子空间 $C(varphi,v)$ 的循环向量. 设 $dim C(varphi,v)=k$, 证明: ${v,varphi(v),cdots,varphi^{k-1}(v)}$ 是 $C(varphi,v)$ 的一组基. 若设 $$varphi^k(v)=-a_0v-a_1varphi(v)-cdots-a_{k-1}varphi^{k-1}(v),$$ 令 $$m_v(lambda)=lambda^k+a_{k-1}lambda^{k-1}+cdots+a_1lambda+a_0,$$ 证明: $m_v(lambda)$ 是 $v$ 的极小多项式.
(3) 记号和假设同 (2), 证明:
(3.1) $C(varphi,v)$ 中任一向量都可写成 $g(varphi)(v)$ 的形式, 其中 $g(lambda)inmathbb{K}[x]$, $deg g(lambda)<k$;
(3.2) $g(varphi)(v)$ 也是 $C(varphi,v)$ 的循环向量 (即 $C(varphi,g(varphi)(v))=C(varphi,v)$) 的充要条件是 $(g(lambda),m_v(lambda))=1$;
(3.3) 对 $m_v(lambda)$ 的任一非常数首一因式 $h(lambda)$, 存在 $0 eq win C(varphi,v)$, 使得 $m_w(lambda)=h(lambda)$;
(3.4) $C(varphi,v)$ 只有有限个 $varphi$-不变子空间, 即为 ${C(varphi,g(varphi)(v))mid g(lambda)$ 是 $m_v(lambda)$ 的首一因式$}$.
(4) 设 $0 eq u,vin V$ 的极小多项式分别为 $m_u(lambda),m_v(lambda)$, 证明:
(4.1) 若 $(m_u(lambda),m_v(lambda))=1$, 则 $C(varphi,u)+C(varphi,v)=C(varphi,u)oplus C(varphi,v)$, 并且 $u+v$ 的极小多项式为 $m_u(lambda)cdot m_v(lambda)$;
(4.2) 存在 $0 eq win C(varphi,u)+C(varphi,v)$, 使得 $m_w(lambda)=[m_u(lambda),m_v(lambda)]$.
(5) 设 ${v_1,v_2,cdots,v_n}$ 是 $V$ 的一组基, $m_i(lambda)$ 分别是 $v_i$ 的极小多项式, $m(lambda)$ 是 $varphi$ 的极小多项式, 证明: $$m(lambda)=[m_1(lambda),m_2(lambda),cdots,m_n(lambda)].$$
(6) 设 $m(lambda)$ 是 $varphi$ 的极小多项式, 证明: 存在 $0 eq vin V$, 使得 $v$ 的极小多项式 $m_v(lambda)=m(lambda)$.
(7) 设 $varphi$ 在 $mathbb{K}$ 中有 $n$ 个不同的特征值 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$, 对应的特征向量为 $v_1,v_2,cdots,v_n$, 证明: $V$ 是循环空间, 并求其循环向量.
注 第 6 问可由有理标准型理论或线性空间理论得到直接的存在性证明, 这里请利用前 5 问的结论给出具体的构造性证明.
[问题2016S10] (1) 证明实对称阵的特征值都是实数, 进一步利用 Jordan 标准型理论和反证法证明实对称阵都可实对角化.
(2) 证明实反对称阵的特征值都是 0 或纯虚数, 进一步利用 Jordan 标准型理论和反证法证明实反对称阵都可复对角化.
[问题2016S11] (1) 设 $Ain M_n(mathbb{C})$ 与所有的 $A^k\,(kgeq 1)$ 都相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型.
(2) 设非异阵 $Ain M_n(mathbb{C})$ 与 $A^{-1}$ 相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型.
注 本题为新白皮书例 7.7 和例 7.8 的逆向命题.
[问题2016S12] 设 $A$ 是非异复矩阵, 证明: $A=BC$, 满足:
(1) $B$ 可对角化;
(2) $C$ 的特征值全为 $1$;
(3) $BC=CB$;
(4) $B,C$ 都可表示为 $A$ 的多项式,
并且满足条件 (1)--(3) 的分解必唯一.
注 本题称为乘法形式的 Jordan-Chevalley 分解定理.
[问题2016S13] 设 $varphi$ 是数域 $mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 其特征多项式 $f(lambda)=P_1(lambda)P_2(lambda)cdots P_k(lambda)$, 其中 $P_i(lambda)$ 是 $mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式, 试求所有的 $varphi$-不变子空间.
[问题2016S14] 证明: 对任意的非异阵 $Ain M_n(mathbb{C})$, 存在 $Bin M_n(mathbb{C})$, 使得 $mathrm{e}^B=A$.
[问题2016S15] 设 $f(z)$ 是收敛半径等于 $+infty$ 的复幂级数, 证明: 对任一 $Ain M_n(mathbb{C})$, 存在一个依赖于 $A$ 的多项式 $g(lambda)inmathbb{C}[lambda]$, 使得 $f(A)=g(A)$.
注 矩阵函数也可以用多项式来定义. 本题告诉我们, 这种定义与幂级数的定义是等价的.
[问题2016S16] (1) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 证明: 对任意的 $xinmathbb{R}^n$, 成立 $0leq x'(A+xx')^{-1}x<1$, 并求等于零的充要条件; 进一步, 对任意的 $Bin M_{n imes m}(mathbb{R})$, 成立 $0leq |B'(A+BB')^{-1}B|<1$, 并求等于零的充要条件;
(2) 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 证明: 存在 $xinmathbb{R}^n$, 使得 $A+xx'$ 正定且 $x'(A+xx')^{-1}x=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-1$; 进一步, 存在 $Bin M_{n imes m}(mathbb{R})\,(mleq n)$, 使得 $A+BB'$ 正定且 $|B'(A+BB')^{-1}B|=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-m$.
[问题2016S17] 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 其特征值为 $lambda_1leqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$, 证明: $$lambda_i=minlimits_{V_i}maxlimits_{0 eq xin V_i}frac{x'Ax}{x'x}=maxlimits_{V_{n-i+1}}minlimits_{0 eq xin V_{n-i+1}}frac{x'Ax}{x'x}\,\,(i=1,2,cdots,n),$$ 其中 $V_j$ 表示 $mathbb{R}^n$ 的 $j$ 维子空间.
注 本题的结论称为“极小极大定理”或“Courant-Fisher 定理”.
[问题2016S18] 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 其特征值为 $lambda_1leqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$.
(1) 设 $S$ 为 $n imes m$ 阶实矩阵, 满足 $S'S=I_m$, $m$ 阶实对称阵 $S'AS$ 的特征值为 $mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$, 证明: $$lambda_jleqmu_j,\,\,\,\,lambda_{n-j+1}geqmu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,cdots,m);$$
(2) 若 $A_m$ 是 $A$ 的 $m$ 阶主子阵, 其特征值为 $mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$, 证明: $$lambda_jleqmu_j,\,\,\,\,lambda_{n-j+1}geqmu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,cdots,m).$$
注 本题的结论 (1) 称为“特征值隔离定理”或“Poincare 定理”, 结论 (2) 称为“Cauchy 交错定理”.
[问题2016S19] 设 $n$ 阶实对称阵 $A,B$ 的特征值分别为 $lambda_1leqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$, $mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$, $C=A+B$ 的特征值为 $ u_1leq u_2leqcdotsleq u_n$, 证明: $$lambda_j+mu_1leq u_jleqlambda_j+mu_n\,\,(j=1,2,cdots,n).$$ 特别地, $$| u_j-lambda_j|leq|B|_2:=max{|mu_1|,|mu_n|}.$$
注 本题的结论称为“Weyl 摄动定理”.
[问题2016S20] (1) 设 $V$ 是实 (复) 线性空间, 若存在 $V$ 上的实值函数 $|\,cdot\,|:V omathbb{R}$, 对任意的 $alpha,etain V$, $cinmathbb{R}\,(mathbb{C})$, 满足:
(i) 非负性: $|alpha|geq 0$, 等号成立当且仅当 $alpha=0$;
(ii) 齐次性: $|calpha|=|c|cdot|alpha|$;
(iii) 三角不等式: $|alpha+eta|leq |alpha|+|eta|$,
则称 $|\,cdot\,|$ 是 $V$ 上的一个范数. 给定范数的实 (复) 线性空间称为赋范线性空间. 例如在内积空间 $V$ 中, 由内积 $(-,-)$ 诱导的范数为 $|alpha|=(alpha,alpha)^{frac{1}{2}}$, 因此内积空间必为赋范线性空间. 证明下列实值函数是 $mathbb{R}^n$ 上的范数, 其中 $alpha=(a_1,a_2,cdots,a_n)'inmathbb{R}^n$:
(i) $|alpha|_1:=sumlimits_{i=1}^n|a_i|$ (称为 1-范数);
(ii) $|alpha|_2:=Big(sumlimits_{i=1}^na_i^2Big)^{frac{1}{2}}$ (称为 2-范数, 即由 Euclid 空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积诱导的 Euclid 范数);
(iii) $|alpha|_infty:=maxlimits_{1leq ileq n}|a_i|$ (称为 $infty$-范数).
(2) 设 $|\,cdot\,|$ 是 $mathbb{R}^n$ 上的范数, 对任意的 $Ain M_n(mathbb{R})$, 定义 $M_n(mathbb{R})$ 上的实值函数为 $|A|:=maxlimits_{alphainmathbb{R}^n,\,|alpha|=1}|Aalpha|$, 证明:
(i) 上述实值函数 $|\,cdot\,|$ 是 $M_n(mathbb{R})$ 上的范数, 称为从属于 $mathbb{R}^n$ 上范数 $|\,cdot\,|$ 的算子范数;
(ii) 上述算子范数满足: 对任意的 $A,Bin M_n(mathbb{R})$, 成立 $|Acdot B|leq |A|cdot|B|$;
(iii) $M_n(mathbb{R})$ 上的 Frobenius 内积诱导的 Frobenius 范数 $|A|_F=Big(sumlimits_{i,j=1}^na_{ij}^2Big)^{frac{1}{2}}$ 不可能是从属于 $mathbb{R}^n$ 上某个范数的算子范数.
(3) 记从属于 $mathbb{R}^n$ 上 1-范数 $|\,cdot\,|_1$, 2-范数 $|\,cdot\,|_2$ 和 $infty$-范数 $|\,cdot\,|_infty$ 的 $M_n(mathbb{R})$ 上对应的算子范数分别为 1-范数 $|\,cdot\,|_1$, 2-范数 $|\,cdot\,|_2$ 和 $infty$-范数 $|\,cdot\,|_infty$, 对任意的 $A=(a_{ij})in M_n(mathbb{R})$, 证明:
(i) $|A|_1=maxlimits_{1leq jleq n}sumlimits_{i=1}^n|a_{ij}|$;
(ii) $|A|_infty=maxlimits_{1leq ileq n}sumlimits_{j=1}^n|a_{ij}|$;
(iii) $|A|_2=ig(lambda_{max}(A'A)ig)^{frac{1}{2}}$, 其中 $lambda_{max}(A'A)$ 表示半正定实对称阵 $A'A$ 的最大特征值.
注 思考题 17、18、19 和 20 都有对应的复数域上的版本, 请读者自行思考其形式并证明其结论.