每周一题的说明
一、本学期高代II的每周一题面向16级的同学，将定期更新（一般每周的周末公布下一周的题目）;
二、欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我，优秀的解答可以分享给大家；
三、请大家先独立思考和解答每周一题，实在做不出的情况下，可以点击参考答案进行学习。
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[问题2017S01] 设 $A$ 是 $n$ 阶对合阵, 即 $A^2=I_n$, 证明: $n-mathrm{tr}(A)$ 为偶数, 并且 $mathrm{tr}(A)=n$ 的充要条件是 $A=I_n$.
[问题2017S02] 设方阵 $A=egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & a & a & 0 \ a-2 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 end{pmatrix}$ 可对角化, 求 $a$ 的值.
[问题2017S03] 设 $A_1,A_2,cdots,A_min M_n(mathbb{K})$, $g(x)inmathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_1),g(A_2),cdots,g(A_m)$ 都是非异阵, 证明: 存在 $h(x)inmathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1}=h(A_i)$ 对所有的 $1leq ileq m$ 都成立.
注: 请用两种方法进行证明上述问题.
[问题2017S04] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在正数 $delta$, 使得对任意的 $sin(0,delta)$, 下列矩阵均可对角化: $$A(s)=egin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22}+s^2 & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}+s^n end{pmatrix}.$$
注: 本题由楼红卫教授给出, 曾作为15级高代II思考题第5题.
[问题2017S05] 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 证明: 若下列条件之一成立, 则矩阵方程 $AX+XA=X$ 只有零解:
(1) $A$ 为幂零阵, 即存在正整数 $m$, 使得 $A^m=0$; (2) $A$ 的所有元素都为 $1$; (3) $A$ 的特征值全为偶数; (4) $A$ 的所有特征值实部的绝对值都小于 $dfrac{1}{2}$.
[问题2017S06] 证明: 实对称阵有完全的特征向量系, 从而可对角化.
注: 本题不能用第九章内积空间的理论进行证明.
[问题2017S07] 设 $A,B,AB$ 都是 $n$ 阶实对称阵, 证明: 若 $s$ 是 $AB$ 的一个特征值, 则存在 $A$ 的特征值 $lambda_0$ 和 $B$ 的特征值 $mu_0$, 使得 $s=lambda_0mu_0$.
[问题2017S08] 设 $n$ 阶实方阵 $A=egin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \ 1 & a_2 & 1 & & & \ & 1 & a_3 & 1 & & \ & & ddots & ddots & ddots & \ & & & 1 & a_{n-1} & 1 \ & & & & 1 & a_n end{pmatrix}$,
(i) 求证: $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值;
(ii) 试求实线性空间 $C(A)={Bin M_n(mathbb{R})mid AB=BA}$ 的维数.
[问题2017S09] 设 $V$ 是数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(lambda),m(lambda)$ 分别是 $varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 以下各小问的假设是独立的.
(i) 设 $f(lambda)=m(lambda)=(lambda-lambda_0)^n$, 试求 $V$ 的所有 $varphi-$不变子空间.
(ii) 设 $f(lambda)=f_1(lambda)f_2(lambda)cdots f_k(lambda)$, 其中 $f_i(lambda)$ 是 $mathbb{K}$ 上两两互素的多项式. 设 $V_i=mathrm{Ker\,}f_i(varphi)$, 则 $V=V_1oplus V_2opluscdotsoplus V_k$. 任取 $V$ 的 $varphi-$不变子空间 $U$, 证明: $U=U_1oplus U_2opluscdotsoplus U_k$, 其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $varphi-$不变子空间.
(iii) 设 $f(lambda)=m(lambda)=(lambda-lambda_1)^{r_1}(lambda-lambda_2)^{r_2}cdots(lambda-lambda_k)^{r_k}$, 其中 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_k$ 是 $mathbb{K}$ 中互异的 $k$ 个数, $r_igeq 1\,(1leq ileq k)$, 试求 $V$ 的所有 $varphi-$不变子空间.
(iv) 设存在 $V$ 的一组基 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$, 使得 $varphi$ 在这组基下的表示阵为 $egin{pmatrix} A & C \ 0 & B end{pmatrix}$, 其中 $A=F(g(lambda))$, $B=F(h(lambda))$ 是对应于 $mathbb{K}$ 上两个首一不可约多项式 $g(lambda),h(lambda)$ 的 Frobenius 块 (也就是友阵的转置), $C$ 是左下角那个元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的矩阵. 试求 $V$ 的所有 $varphi-$不变子空间.
(v) 设 $f(lambda)=m(lambda)=P_1(lambda)^{r_1}P_2(lambda)^{r_2}cdots P_k(lambda)^{r_k}$, 其中 $P_1(lambda),P_2(lambda),cdots,P_k(lambda)$ 是 $mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式, $r_igeq 1\,(1leq ileq k)$, 试求 $V$ 的所有 $varphi-$不变子空间.
[问题2017S10] 设 $V$ 是数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $varphi$ 的极小多项式在 $mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $varphi-$不变子空间 $U$, 均存在 $varphi-$不变子空间 $W$, 使得 $V=Uoplus W$.
注: 本题是教材复习题七的第 24 题或白皮书的例 7.15 从复数域 $mathbb{C}$ 到一般数域 $mathbb{K}$ 上的推广.
[问题2017S11] 设 $f(z)$ 是收敛半径为 $+infty$ 的复幂级数, $Ain M_n(mathbb{C})$, $g(lambda)=det(f(lambda)I_n-f(A))$, 证明: $g(A)=0$.
[问题2017S12] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $egin{pmatrix} A & B' \ B & A^{-1} end{pmatrix}$ 为半正定阵, 证明: $B$ 的特征值都落在复平面上的单位圆内 (包含边界).
[问题2017S13] 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称阵, 满足 $mathrm{tr}(AB)=0$, 求证: $AB=0$.
注 本题是白皮书第 459 页的例 9.57, 请不要用实对称阵的正交相似标准型理论 (第九章内积空间的内容) 进行证明, 而直接利用半正定阵的基本性质 (第八章二次型的内容) 进行证明.
[问题2017S14] 设 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 是 $n$ 个互异的正实数, 试用两种方法证明: $n$ 阶实对称阵 $A=(a_{ij})$ 是正定阵, 其中 $a_{ij}=dfrac{1}{a_i+a_j}$.
[问题2017S15] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $x=(x_1,x_2,cdots,x_n)'$, $f(x)=x'Ax$ 为对应的实二次型. 设去掉 $A$ 的 第 $i$ 行和第 $i$ 列后的主子阵为 $A_i$, 证明: $f(x)$ 在 $x_i=1$ 的条件下的最小值为 $dfrac{|A|}{|A_i|}$, $1leq ileq n$.
[问题2017S16] 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 为正定阵 (半正定阵) 的充要条件是 $$c_r=sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_rleq n}Aegin{pmatrix}i_1\,\,i_2\,\,cdots\,\,i_r \i_1\,\,i_2\,\,cdots\,\,i_r end{pmatrix}>0\,\,(geq 0),\,\,\,\,r=1,2,cdots,n.$$
[问题2017S17] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $alpha,eta$ 是 $n$ 维实列向量, 证明: $(alpha'eta)^2leq(alpha'Aalpha)(eta'A^{-1}eta)$, 等号成立当且仅当 $Aalpha$ 与 $eta$ 成比例.
注 白皮书的例 9.51 是加法版本, 本题是乘法版本.
[问题2017S18] 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, $lambda_1leqcdotsleqlambda_n$ 是 $-dfrac{mathrm{i}}{2}(A-overline{A}')$ 的全体特征值, 证明: 对 $A$ 的任一特征值 $lambda$, 有 $lambda_1leqmathrm{Im\,}lambdaleqlambda_n$.
注 白皮书的例 9.48 是实部版本, 本题是虚部版本.