八、(本题10分) 设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $AA'=cA'A$, 其中 $c$ 为非零实数. 证明: 若 $r(A)=rgeq 1$, 则 $A$ 至少有一个 $r$ 阶主子式非零.
思路 本题是高代教材复习题三的第 45 题或高代白皮书的例 3.83 的推广 (对称阵和反对称阵都满足题设条件), 其主要想法还是利用高代教材复习题三的第 44 题或高代白皮书的例 3.82 的结论, 先取出 $A$ 的列向量的极大无关组, 然后利用 $A$ 与 $A'$ 的某种弱对称性 (即 $AA'=cA'A$) 去证明相同指标的行向量也是 $A$ 的行向量组的极大无关组即可. 利用上述思路, 我们提供三种不同的证明方法. 另外, 我们还利用高代 II 中的复正规阵的酉相似标准型理论给出最简单的第四种证明方法.
证法一 (向量组的秩) 设 $A=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)$ 为列分块, 且 $eta_{i_1},eta_{i_2},cdots,eta_{i_r}$ 是列向量的极大无关组, 则 $A'A=(A'eta_1,A'eta_2,cdots,A'eta_n)$ 为 $A'A$ 的列分块, 且每个列向量 $A'eta_i$ 都是 $A'eta_{i_1},A'eta_{i_2},cdots,A'eta_{i_r}$ 的线性组合. 由教材复习题三的第 41 题或白皮书的例 3.72 可知, $r(A'A)=r(A)=r$, 再由白皮书的例 3.19 可知, $A'eta_{i_1},A'eta_{i_2},cdots,A'eta_{i_r}$ 是 $A'A$ 的列向量的极大无关组. 由于 $AA'=cA'A\,(c eq 0)$, 故 $AA'$ 的第 $i_1,cdots,i_r$ 列也是 $AA'$ 的列向量的极大无关组. 设 $A=egin{pmatrix}alpha_1\ alpha_2\ vdots\ alpha_n\ end{pmatrix}$ 为行分块, 则 $AA'=A(alpha_1',alpha_2',cdots,alpha_n')=(Aalpha_1',Aalpha_2',cdots,Aalpha_n')$ 为 $AA'$ 的列分块, 于是 $Aalpha_{i_1}',Aalpha_{i_2}',cdots,Aalpha_{i_r}'$ 是 $AA'$ 的列向量的极大无关组, 特别地, 它们线性无关. 因此, $alpha_{i_1}',alpha_{i_2}',cdots,alpha_{i_r}'$ 必线性无关, 从而 $alpha_{i_1},alpha_{i_2},cdots,alpha_{i_r}$ 也线性无关. 由于 $r(A)=r$, 故由白皮书的例 3.19 可知, $alpha_{i_1},alpha_{i_2},cdots,alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的行向量的极大无关组. 最后, 由教材复习题三的第 44 题或白皮书的例 3.82 可知 $Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix} eq 0$.
证法二 (Cauchy-Binet 公式) 由于 $r(A)=r$, 故 $A$ 至少有一个 $r$ 阶子式非零, 不妨设 $Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ j_1 & j_2 & cdots & j_r\ end{pmatrix} eq 0$. 由教材习题 3.4.9 可知, $A$ 的第 $i_1,i_2,cdots,i_r$ 行线性无关, 又 $r(A)=r$, 故第 $i_1,i_2,cdots,i_r$ 行是 $A$ 的行向量的极大无关组. 利用 Cauchy-Binet 公式进行如下计算: $$AA'egin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}=sum_{1leq k_1<cdots<k_rleq n}Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ k_1 & k_2 & cdots & k_r\ end{pmatrix}A'egin{pmatrix} k_1 & k_2 & cdots & k_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}=sum_{1leq k_1<cdots<k_rleq n}Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ k_1 & k_2 & cdots & k_r\ end{pmatrix}^2>0.$$ 注意到 $AA'=cA'A\,(c eq 0)$, 于是我们有 $$(cA'A)egin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}\=c^rsum_{1leq k_1<cdots<k_rleq n}A'egin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ k_1 & k_2 & cdots & k_r\ end{pmatrix}Aegin{pmatrix} k_1 & k_2 & cdots & k_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}\=c^rsum_{1leq k_1<cdots<k_rleq n}Aegin{pmatrix} k_1 & k_2 & cdots & k_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}^2>0,$$ 从而至少存在某个 $Aegin{pmatrix} k_1 & k_2 & cdots & k_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix} eq 0$. 重复开始部分的证明可知, $A$ 的第 $i_1,i_2,cdots,i_r$ 列是 $A$ 的列向量的极大无关组, 最后由教材复习题三的第 44 题或白皮书的例 3.82 可知结论成立.
证法三 (Gram 矩阵) 设 $A=egin{pmatrix}alpha_1\ alpha_2\ vdots\ alpha_n\ end{pmatrix}=(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)$ 分别为 $A$ 的行分块和列分块, 则 $$AA'=egin{pmatrix}alpha_1\ alpha_2\ vdots\ alpha_n\ end{pmatrix}(alpha_1',alpha_2',cdots,alpha_n')=(alpha_icdotalpha_j')_{n imes n}=G(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)$$ 是 $A$ 的行向量在标准内积下的 Gram 矩阵, $$A'A=egin{pmatrix}eta_1'\ eta_2'\ vdots\ eta_n'\ end{pmatrix}(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)=(eta_i'cdoteta_j)_{n imes n}=G(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)$$ 是 $A$ 的列向量在标准内积下的 Gram 矩阵. 我们引用一个 Gram 矩阵的性质 (参考教材的习题 9.2.9 或白皮书的例 9.5): 几个行向量 (列向量) 线性无关当且仅当它们的 Gram 矩阵是非异阵. 设 $alpha_{i_1},alpha_{i_2},cdots,alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的行向量的极大无关组, 则它们的 Gram 矩阵 $G(alpha_{i_1},alpha_{i_2},cdots,alpha_{i_r})$ 是非异阵. 注意到 $G(alpha_{i_1},alpha_{i_2},cdots,alpha_{i_r})$ 的行列式是 $AA'$ 的第 $i_1,i_2,cdots,i_r$ 阶主子式, 又 $AA'=cA'A\,(c eq 0)$, 故 $A'A$ 的第 $i_1,i_2,cdots,i_r$ 阶主子式也不等于零, 而这正是列向量 $eta_{i_1},eta_{i_2},cdots,eta_{i_r}$ 的 Gram 矩阵 $G(eta_{i_1},eta_{i_2},cdots,eta_{i_r})$ 的行列式, 因此 $eta_{i_1},eta_{i_2},cdots,eta_{i_r}$ 线性无关, 从而是 $A$ 的列向量的极大无关组, 最后由教材复习题三的第 44 题或白皮书的例 3.82 可知结论成立.
证法四 (复正规阵的酉相似标准型) 在等式 $AA'=cA'A$ 的两边同时取迹, 由迹的线性、交换性和正定性 (参考白皮书的 2.2.6 节) 以及 $A eq 0$ 可得 $c=1$, 因此 $AA'=A'A$, 即 $A$ 是实正规阵. 由复正规阵的酉相似标准型理论可知, 存在酉阵 $P$, 使得 $overline{P}'AP=mathrm{diag}{lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r,0,cdots,0}$, 其中 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r$ 是 $A$ 的全体非零复特征值. 由矩阵特征值与主子式之间的关系 (参考白皮书的例 6.15): $$sum_{1leq i_1<cdots<i_rleq n}Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r\ i_1 & i_2 & cdots & i_r\ end{pmatrix}=sum_{1leq i_1<cdots<i_rleq n}lambda_{i_1}lambda_{i_2}cdotslambda_{i_r}=lambda_1lambda_2cdotslambda_r eq 0,$$ 从而 $A$ 至少有一个 $r$ 阶主子式非零. $Box$
注 与证法四不同, 前面三种证法不需要 $c=1$ 这个条件, 只需要 $c eq 0$ 即可. 证法二由 16 级方博越同学提供, 证法三由 16 级郭宇城同学提供. 本次期末考试仅有郭宇城同学一人做对了本题, 17 级张昰昊同学给了类似于证法四的不完全证明.