[问题2018A01] 计算下列 $n+1$ 阶行列式的值: $$|A|=egin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & cdots & 1 \ 1 & a_1 & a_2 & cdots & a_n \ -2 & a_1^2 & a_2^2 & cdots & a_n^2 \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ (-1)^{n-1}n & a_1^n & a_2^n & cdots & a_n^n \ end{vmatrix}.$$
[问题2018A02] 设 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$ 为 $n$ 个复数, 满足: $$left{egin{array}{l}lambda_1+lambda_2+cdots+lambda_n=r,\ lambda_1^2+lambda_2^2+cdots+lambda_n^2=r,\ cdotscdotscdotscdots \ lambda_1^n+lambda_2^n+cdots+lambda_n^n=r,\ lambda_1^{n+1}+lambda_2^{n+1}+cdots+lambda_n^{n+1}=r,\ end{array} ight.$$ 其中 $rin [0,n]$ 为整数. 证明: $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$ 中有 $r$ 个 $1$, $n-r$ 个 $0$.
提示 用 VanderMonde 行列式和 Cramer 法则来做.
[问题2018A03] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵, $b$ 为常数, 方阵 $B=(a_{ij}+b)$, 即 $B$ 的每个元素都是 $A$ 中对应元素加上 $b$.
(1) 证明: $A$ 的所有代数余子式之和等于 $B$ 的所有代数余子式之和;
(2) 进一步假设 $A$ 是偶数阶反对称阵, 证明: $|A|=|B|$.
[问题2018A04] 计算下列 $n$ 阶行列式的值: $$|A|=egin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ n-1 & x & 2 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & n-2 & x & 3 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & n-3 & x & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & x \ end{vmatrix}.$$
[问题2018A05] 设 $alpha,eta$ 为 $n$ 维列向量且 $alpha eq 0$, 试构造 $n$ 阶方阵 $A$, 满足以下两个条件：
(1) $Aalpha=eta$;
(2) 对任一满足 $alpha'gamma=0$ 的 $n$ 维列向量 $gamma$, 均有 $Agamma=gamma$.
[问题2018A06] 试求下列矩阵 $A=(a_{ij})$ 的秩, 其中:
(1) $a_{ij}=cos(alpha_i-eta_j)$ (参考复旦高代教材第二章复习题46)；
(2) $a_{ij}=1+x_iy_j$ (参考复旦高代教材第二章复习题45).
[问题2018A07] 设 $V_1,cdots,V_m,W$ 都是线性空间 $V$ 的子空间, 满足 $Wsubseteq V_1igcup V_2igcupcdotsigcup V_m$. 证明: 存在某个 $1leq ileq m$, 使得 $Wsubseteq V_i$.
[问题2018A08] 设 $A,B$ 分别为 $m imes n$ 和 $n imes m$ 矩阵, $C$ 为 $n$ 阶非异阵, 满足 $A(C+BA)=0$. 证明: 线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 $(C+BA)alpha$, 其中 $alpha$ 为任意的 $n$ 维列向量.
[问题2018A09] 设 $S$ 是线性空间 $V$ 中的向量族, 并且至少包含一个非零向量. 证明: $S$ 存在极大无关组的充要条件是 $S$ 张成的子空间 $L(S)$ 是一个有限维线性空间.
注 本题推广了复旦高代教材的命题 3.5.1.
[问题2018A10] 设 $V,U$ 分别是数域 $K$ 上的 $n,m$ 维线性空间, $varphi,psi:V o U$ 是两个线性映射, 证明: $mathrm{Im\,}varphisubseteqmathrm{Im\,}psi$ 的充要条件是存在 $V$ 上的线性变换 $xi$, 使得 $varphi=psixi$.
[问题2018A11] (1) 请利用相抵标准型理论证明: 若 $A$ 为 $n$ 阶幂等阵, 即 $A^2=A$, 则 $mathrm{tr}(A)=r(A)$. 利用相似标准型理论证明这一结论, 可参考白皮书的例 4.49(2).
(2) 设 $varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足 $varphi^m=I_V\,(mgeq 2)$, $W=mathrm{Ker}(I_V-varphi)$. 证明: 线性变换 $dfrac{1}{m}sumlimits_{i=0}^{m-1}varphi^i$ 的迹等于 $dim W$.
[问题2018A12] 设循环矩阵 $A=egin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & cdots & a_n \ a_n & a_1 & a_2 & cdots & a_{n-1} \ a_{n-1} & a_n & a_1 & cdots & a_{n-2} \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ a_2 & a_3 & a_4 & cdots & a_1 \ end{pmatrix}$, 证明: 伴随阵 $A^*$ 也是循环矩阵.
提示 把 $A$ 相似于对角阵, 然后用 Lagrange 插值公式来做.
[问题2018A13] 设复系数多项式 $f(x),g(x)$ 互素, 证明: $f(x)^2+g(x)^2$ 的重根必为 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根.
[问题2018A14] 设 $p$ 为奇素数, 证明: 多项式 $f(x)=(p-1)x^{p-2}+(p-2)x^{p-3}+cdots+2x+1$ 在有理数域上不可约.