在众多数据结构，\(Link-Cut\ Tree\)，或者叫作动态树，以其代码的长度著称，在学习了\(1\)天\(LCT\)并深深地被其恶心到之后，我决定口糊这样一篇学习笔记。
在学\(LCT\)之前，你需要先学会树链剖分与\(Splay\)。
定义及性质
树链剖分大家都知道，是可以用来解决树上路径、子树相关问题的方法，而\(LCT\)同样也可以很方便地结局路径相关问题以及一些子树的问题，但不同的是，它更加高级，可以支持动态连边、删边(也就是说大部分情况下动态树处理的是森林上的问题)。
相信大家都知道，重链剖分通过划分轻边与重边，然后用线段树等数据结构维护终边构成的重链，使得链上问题便于解决。
同样的，\(LCT\)我们也可以把它看成是一种实链剖分，即将每个点连向某一个儿子的边划分为实边，将连向其他子树的边划分为虚边。
之所以叫虚实，是为了突出虚边与实边能够不断动态变化的性质，也正因为这个，\(LCT\)使用更灵活的\(Splay\)来维护每一条实边构成的实链。
\(LCT\)维护的是许多棵\(Splay\)组成的森林，它们满足以下一些优秀性质：
- 每个\(Splay\)维护的是一条深度单调递增的链(就是定义)，并且它的中序遍历得到的节点序列深度单调递增且相邻的深度差为\(1\)
- 每个节点被包含且仅包包含在一个\(Splay\)中
- 所有的实边都连接着在同一个\(Splay\)中的两个点，虚边由一棵\(Splay\)的根指向另一个点（即该\(Splay\)中深度最小的点在原树中的父亲）
- “认父不认子”：即每个点只向其中一个儿子连一条实链，所以是无法直接访问其他儿子的
各种操作
\(access(x)\)
access操作：拉通某个点到根节点的实链，并保存在一棵\(Splay\)中，即将路径上的虚边变成实边，将路径上的点连向儿子的其他实边变成虚边。
这里我们嫖了神仙的博客的图来讲解一下：
以下面这棵树为例，一开始实边虚边是这样划分的：
现在假设我们要\(access(N)\)，拉出一条\(A-N\)的实链，即将原树变为;
一开始的时候，假设我们维护的是这样的\(Splay\)：
那么我们一路向根处理，首先在\(N\)所在的\(Splay\)中，我们先\(Splay(N)\)，接着，我们需要将\(N-O\)的实边变成虚边，因为\(LCT\)的认父不认子，我们直接将\(N\)的右儿子置为\(0\)，于是这一部分的\(Splay\)就变成了：
继续向上处理，在\(I\)所在的\(Splay\)中，我们也将\(I\) \(Splay\)到根，首先要将\(I-K\)的实边变虚，然后将\(I-N\)的虚边变实，同样的，我们直接将\(I\)的右儿子置为\(N\)即可：
依次循环处理下去即可，事实上大致思路就是：
将\(x\ Splay\)到根，更新其右儿子为上一个遍历到的数，然后更新信息，继续向父亲处理：
inline void access(int x){
for(int last=0;x;last=x,x=fa[x])
Splay(x),ch[x][1]=last,pushup(x);
}//连出x到rt路径的splay
\(makeroot(x)\)
makeroot操作：将\(x\)置为所在原树的根，也就是让它变成这棵树上深度最小的点，这样的操作显然不会影响到链上的操作，但却会影响子树的相关信息，导致\(LCT\)处理子树较为麻烦，不过那是后话。
我们先拉出\(x\)到根的\(Splay\)，然后将\(x\) \(Splay\)到根，这时显然\(x\)是这棵\(Splay\)中深度最大的点，所以它没有右儿子，因此我们直接翻转这棵\(Splay\)，就能让\(x\)变成深度最小的点，也就是根了.
如同文艺平衡树一样，我们对每个节点维护一个\(rev\)标记并下传即可：
inline void pushdown(int x){
if(!rev[x]) return ;
if(ch[x][0]) rever(ch[x][0]);
if(ch[x][1]) rever(ch[x][1]);
rev[x]=0;
}
inline void makeroot(int x){
access(x);Splay(x);
rever(x);
}//让x成为所在树的根
\(findroot(x)\)
findroot操作：找到\(x\)所在原树的根：
因为根是这棵树种深度最小的节点，所以直接打通\(x\)到根的实链，将\(x\)到根，然后不断地跳左儿子即可
当然不要忘记\(pushdown\)
inline int findroot(int x){
access(x);Splay(x);
while(ch[x][0]) pushdown(x),x=ch[x][0];
Splay(x);//Splay以保证复杂度
return x;
}//找出x所在原树的根（深度最小的点）
\(link(x,y)\)
link操作：在\(x,y\)之间连一条轻边，如果\(x,y\)在同一联通块则不用连边：把\(x\)置为所原树的根，然后直接将\(x\)的父亲置为\(y\)即可。
判断是否在同一个连通块就直接看\(findroot(y)\)是否\(=x\)即可：
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x) return ;//已经联通
fa[x]=y;
}//让x成为原树的根，向y连一条虚边
\(cut(x,y)\)
cut操作：将\(x,y\)间的边断开，如果保证断边合法那么直接将\(x\)置为根，那么\(y\)一定是\(x\)的右儿子，于是直接更改\(x\)的右儿子与\(y\)的父亲即可。
判断断边合法，首先要\(x\)与\(y\)在同一棵\(Splay\)中，即\(findroot(y)==x\)
然后如果原树中\(x,y\)之间有边，那么它们一定在\(Splay\)中\(x,y\)之间或在\(y\)的左儿子中，于是再判断\(x\)的父亲是\(y\)且\(y\)左儿子为空即可：
inline void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ch[y][0]) return ;
fa[y]=ch[x][1]=0;
pushup(x);
}
\(split(x,y)\)
split操作：将\(x,y\)间的链变为实链且放在一个\(Splay\)中，以\(y\)为根：
直接将\(x\)置为根，然后拉出\(y\)到根的路径再\(Splay(y)\)即可：
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);Splay(y);
}//将x到y的链拉成一个splay,y成为这个splay的根
除此之外，\(LCT\)中的\(Rotate\)，\(Splay\)操作也与一般的\(Splay\)不同：
首先，这里面\(Splay\)是否已经到根不能再通过\(fa\)为\(0\)判断了，因为它的\(fa\)可能指向的是虚边连向的\(fa\)，我们利用\(LCT\)的认父不认子来判断：
inline bool isroot(int x){
return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;
}//LCT认父不认子，所以如果x的父亲找不到x就说明这是一条虚边，x是所在splay的根
\(Rotate\)时也要额外判断是否更改了这棵\(Splay\)以外的点的东西：
inline void Rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],wx=which(x),wy=which(y);
if(!isroot(y)) ch[z][wy]=x;fa[x]=z;//如果y是rt，那么y-z是一条轻边，不应该更改z的儿子
ch[y][wx]=ch[x][wx^1];
if(ch[y][wx]) fa[ch[y][wx]]=y;
ch[x][wx^1]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
\(Splay\)时，注意先将要经过的点全部\(pushdown\)一遍：
int stk[N];
inline void Splay(int x){
int now=x,top=0;
stk[++top]=now;
while(!isroot(now)) now=fa[now],stk[++top]=now;
while(top) pushdown(stk[top--]);
while(!isroot(x)){
int y=fa[x];
if(!isroot(y)){
if(which(x)==which(y)) Rotate(y);
else Rotate(x);
}
Rotate(x);
}
pushup(x);
}
以上就是\(LCT\)一般的操作了。
例题
洛谷模板
直接把上面的操作串起来就行了，每个节点维护它所在\(Splay\)中子树的异或和，询问时将\(x,y\)的链拉出来，然后直接输出\(y\)维护的答案即可：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,m;
int fa[N],ch[N][2],rt,val[N],sum[N],rev[N];
inline bool which(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
inline void pushup(int i){
sum[i]=sum[ch[i][0]]^val[i]^sum[ch[i][1]];
}
inline bool isroot(int x){
return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;
}//LCT认父不认子，所以如果x的父亲找不到x就说明这是一条虚边，x是所在splay的根
inline void rever(int x){
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[x]^=1;
}
inline void pushdown(int x){
if(!rev[x]) return ;
if(ch[x][0]) rever(ch[x][0]);
if(ch[x][1]) rever(ch[x][1]);
rev[x]=0;
}
inline void Rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],wx=which(x),wy=which(y);
if(!isroot(y)) ch[z][wy]=x;fa[x]=z;
ch[y][wx]=ch[x][wx^1];
if(ch[y][wx]) fa[ch[y][wx]]=y;
ch[x][wx^1]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
int stk[N];
inline void Splay(int x){
int now=x,top=0;
stk[++top]=now;
while(!isroot(now)) now=fa[now],stk[++top]=now;
while(top) pushdown(stk[top--]);
while(!isroot(x)){
int y=fa[x];
if(!isroot(y)){
if(which(x)==which(y)) Rotate(y);
else Rotate(x);
}
Rotate(x);
}
pushup(x);
}
inline void access(int x){
for(int last=0;x;last=x,x=fa[x])
Splay(x),ch[x][1]=last,pushup(x);
}//连出x到rt路径的splay
inline void makeroot(int x){
access(x);Splay(x);
rever(x);
}//让x成为所在树的根
inline int findroot(int x){
access(x);Splay(x);
while(ch[x][0]) pushdown(x),x=ch[x][0];
Splay(x);
return x;
}//找出x所在原树的根（深度最小的点）
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);Splay(y);
}//将x到y的链拉成一个splay,y成为这个splay的根
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x) return ;//已经联通
fa[x]=y;
}//让x成为原树的根，向y连一条虚边
inline void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ch[y][0]) return ;
fa[y]=ch[x][1]=0;
pushup(x);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&val[i]);
for(int i=1,op,x,y;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if(op==0){
split(x,y);
printf("%d\n",sum[y]);
}
else if(op==1) link(x,y);
else if(op==2) cut(x,y);
else if(op==3){
Splay(x);
val[x]=y;
}
}
return 0;
}