一、Lucas定理
考虑经典问题：求解(inom{n}{m}mod p)的值，(p)是质数。
这样的问题，我们一般采用预处理阶乘及阶乘逆元的方式达到(mathcal O(1))查询，但当(n,m)的范围比较大，比如(1e9)之类的，预处理阶乘显然是不可能的了，那我们有什么方法呢：
Lucas定理：
[inom{n}{m}equiv inom{lfloor n/p
floor}{lfloor m/p
floor}inom{n\%p}{m\%p} pmod p
]
有了这个定理，实现就很简单了，将(inom{lfloor n/p floor}{lfloor m/p floor})递归处理，将(inom{n\%p}{m\%p})用线性求逆元的方法完成，总复杂度是(O(p+log_p(n)))，可以通过这道洛谷模板题，这道题数据范围不知道为什么只出到(1e5)，预处理阶乘都可以过。。。事实上(Lucas)可以做到(n,mle 1e18)，只要(p)比较小且是质数就行了。
考虑定理的证明：
首先给出引理：
引理： 当(p)为质数时，满足
[(a+b)^pequiv a^p+b^ppmod p ]考虑(inom{p}{i} mod p)，因为(inom{p}{i}=frac{p!}{i!(p-i)!})，所以只要(i ot=p)且(p-i ot=p)，这个式子一定(=0)，因此只有在(i=0)或(p)时原式值大于(0)。
于是由二项式定理：
[(a+b)^p=sum_{i=0}^{p}inom{p}{i}a^ib^{p-i}equiv inom p0 b^p+inom ppa^pequiv a^p+b^ppmod p ]
开始推导，假设(n=n_0p+n_1,m=m_0p+m_1)，那么我们需要证明得就是：
[inom nm equiv inom{n_0}{m_0}inom{n_1}{m_1}pmod p
]
于是有：
[egin{aligned}
(1+x)^n&equiv (1+x)^{nn_0p+n_1}\
&equiv (1+x)^{n_0p}(1+x)^{n_1}\
&equiv [(1+x)^p]^{n_0}(1+x)^{n_1}\
&equiv (1+x^p)^{n_0}(1+x)^{n_1}\
&equiv sum_{i=0}^{n_0}inom{n_0}{i}x^{pi}sum_{j=0}^{n_1}inom{n_1}{j}x^jpmod p
end{aligned}
]
再回到二项式定理得到((1+x)^n)的另一种表达式：
[(1+x)^n=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}x^i
]
故
[sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}x^iequiv sum_{i=0}^{n_0}inom{n_0}{i}x^{pi}sum_{j=0}^{n_1}inom{n_1}{j}x^jpmod p
]
左式的(x^m)次项的系数就是(inom{n}{m})，而右式中(n_1<p,m=m_0p+m_1)，因此右式中(x^m)只能由(x^{m_0p} imes x^{m_1})得到，系数就是
[inom{n_0}{m_0}inom{n_1}{m_1}
]
因此：
[inom{n}{m}equiv inom{n_0}{m_0}inom{n_1}{m_1}pmod p
]
(Lucas)定理得证。
二、例题：
-
洛谷模板题:P3807
不说了，直接上代码：#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e5+10; int t,n,m,p,base[N],inv[N]; inline void init(){ base[0]=base[1]=1;inv[0]=inv[1]=1; for(int i=2;i<p;++i){ base[i]=1ll*base[i-1]*i%p; inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p; } for(int i=2;i<p;++i) inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%p; } inline int calc(int a,int b){ if(a<b) return 0; return 1ll*base[a]*inv[b]%p*inv[a-b]%p; } inline int Lucas(int a,int b,int p){ if(a<b) return 0; if(b==0) return 1; return 1ll*Lucas(a/p,b/p,p)*calc(a%p,b%p)%p; } int main(){ scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); init(); printf("%d ",Lucas(n+m,n,p)); } return 0; }