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  • 清华机试-整数拆分

    题目描述

    一个整数总可以拆分为2的幂的和,例如: 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如:4可以拆分成:4 = 4,4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数,例如f(7)=6. 要求编写程序,读入n(不超过1000000),输出f(n)%1000000000。

    输入描述:

    每组输入包括一个整数:N(1<=N<=1000000)。

    输出描述:

    对于每组数据,输出f(n)%1000000000。
    示例1

    输入

    7
    

    输出

    6

    解题思路

    搬运一下思路:
    记f(n)为n的划分数,我们有递推公式:
     
    f(2m + 1) = f(2m),
    f(2m) = f(2m - 1) + f(m),
    初始条件:f(1) = 1。
     
    证明:
     
    证明的要点是考虑划分中是否有1。
     
    记:
    A(n) = n的所有划分组成的集合,
    B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合,
    C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合,
    则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
     
    又记:
    f(n) = A(n)中元素的个数,
    g(n) = B(n)中元素的个数,
    h(n) = C(n)中元素的个数,
    易知: f(n) = g(n) + h(n)。
     
    以上记号的具体例子见文末。
     
    我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m),
    首先,2m + 1 的每个划分中至少有一个1,去掉这个1,就得到 2m 的一个划分,故 f(2m + 1)≤f(2m)。
    其次,2m 的每个划分加上个1,就构成了 2m + 1 的一个划分,故 f(2m)≤f(2m + 1)。
    综上,f(2m + 1) = f(2m)。
     
    接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m),
    把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个,就得到 A(2m - 1) 中的一个划分,故 g(2m)≤f(2m - 1)。
    把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1,就得到 B(2m) 中的一个划分,故 f(2m - 1)≤g(2m)。
    综上,g(2m) = f(2m - 1)。
     
    把 C(2m) 中的划分的元素都除以2,就得到 A(m) 中的一个划分,故 h(2m)≤f(m)。
    把 A(m) 中的划分的元素都乘2,就得到 C(2m) 中的一个划分,故 f(m)≤h(2m)。
    综上,h(2m) = f(m)。
     
    所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            
     
    这就证明了我们的递推公式。

    代码

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    int dp[1000001];
    
    int main()
    {
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3;i <= 1000000;i++)
        {
            if(i % 2 == 0)
            {
                dp[i] = (dp[i / 2] + dp[i - 1]) % 1000000000;
            }
            else dp[i] = dp[i - 1] % 1000000000;
        }
        int n;
        cin >> n;
        cout << dp[n] << endl;
        return 0;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/tracy520/p/8836654.html
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