洛谷P1582 倒水(二进制)

题目链接： https://www.luogu.org/problemnew/show/P1582

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题目描述

一天，CC买了N个容量可以认为是无限大的瓶子，开始时每个瓶子里有1升水。接着~~CC发现瓶子实在太多了，于是他决定保留不超过K个瓶子。每次他选择两个当前含水量相同的瓶子，把一个瓶子的水全部倒进另一个里，然后把空瓶丢弃。(不能丢弃有水的瓶子)

显然在某些情况下CC无法达到目标，比如N=3,K=1。此时CC会重新买一些新的瓶子(新瓶子容量无限，开始时有1升水)，以到达目标。

现在CC想知道，最少需要买多少新瓶子才能达到目标呢？

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输入格式

一行两个正整数，N,K(1<=N<=2*10^9，K<=1000)。

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输出格式

一个非负整数，表示最少需要买多少新瓶子。

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输入输出样例

输入 #1

3 1

输出 #1

1

输入 #2

13 2

输出 #2

3

输入 #3

1000000 5

输出 #3

15808

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题意：

只有水容量相同的瓶子才可以倒在一起，初始瓶子水为1升，且瓶子无限大，问你给你 N 个瓶子，还需要几个瓶子才能使得最后还剩 K个有水的瓶子。

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题解：

先考虑最后剩一个瓶子，那么开始肯定要  个瓶子，最后才可以倒成一个瓶子。如果开始给你N个瓶子，设还需要X个瓶子可以写成：  N + X = ，这样如果最后剩一个瓶子，那么可以让N构成最小的的X就是答案。那么最后如果剩 K 个瓶子呢？ 可以这样想：最后剩K个瓶子，但可以把这K个瓶子看成独立的一个一个的瓶子，最后又变成最后剩一个瓶子的问题了，公式就可以写成：

N + X =  +  + ······ +  ,所以最后问题变成如何加上最小的X使得 N + X 可以拆成k个2的次方的形式，每个2的次方最终就会倒水倒成1。设 ans = N + X 其实最后就是让ans的二进制的1的个数小于等于 K 就好，因为大于K的话一定无法拆解成 K 个2的次方的形式，肯定多余K个，若果最后的答案的二进制的个数小于K个，那么最后就可以拆了，比如：

N = 13， K = 2 让你求X

N = 1 1 0 1， 先加0 0 0 1 => 1 1 1 0 ，在加 0 0 1 0  => 1 0 0 0 0  每次加最低位，保证尽可能慢慢扩大X（贪心），这时候就剩1个二进制位了，可以拆成 ：  +  的形式。

补充小知识点：

1、__builtin_popcount(n) （前面俩下划线_）用于求计算n表示成二进制时有多少个1。（不需要任何头文件就可以使用）

2、n & (-n) 代表每次加上一个是最后一个1向前进位的大小，即求lowbit(n)。

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AC代码：

#include <iostream>
using namespace std;

//k为x的二进制中从最低位到高位连续零的长度，返回2^k大小
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int main(){
    int n,k,ans=0;
    cin>>n>>k;
    while(__builtin_popcount(n)>k){
        ans+=lowbit(n);
        n+=lowbit(n);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

参考：http://www.luyixian.cn/news_show_15344.aspx