二分法求凸多边形的外接圆最大半径

这是一道来自《算法笔记》的题目

题目描述

给定 N 个线段的长度，试将它们头尾相接（顺序任意）地组合成一个凸多边形，使得凸多边形的外接圆的半径最大，求该最大半径。其中 N 不超过 10⁵ ，线段长度均不超过 100 ，要求算法中不涉及坐标的计算。

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考查内容

二分算法的本质就是通过不断迭代使left 和 right 在固定条件下逐渐靠近真实值，符合一定误差，所以实际上把该题放在二分扩展里面，这个所谓的最大半径的“最大”是不在求解中的，最大应该算题干，先组成一个有外接圆的凸多边形，然后求其半径即可。不要误入歧途在“最大”上绞尽脑汁。

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分析

• 首先半径一定大于等于最长线段的一半。
• 这题的意思是这些线段组成的凸多边形的顶点一定能放在某个圆上，我们只需要考虑半径最大就行，不用考虑如何组成的这种图形。
• 外接圆圆心与每个线段顶点连接后会有一个圆心角

1. 如果圆心在凸多边形的内部，假设最大半径是rmax，则所有圆心角之和应该为2π。

• • 如果半径比rmax大，那么这些线段的圆心角之和sum<2∗π，线段没法首尾相连的在外接圆上，半径应变小。
  • 如果半径比rmax小，那么这些线段的圆心角之和sum>2∗π，这时构成的外接圆不是半径最大的外接圆，半径应变大。

 sum为绿色之和

　　　　　　因此可以对半径长度二分，寻找圆心角之和为2∗π2*pi2∗π的那个值即可。

2. 如果圆心在凸多边形的外部，假设最大半径是rmax,那么最长的线段的圆心角，一定等于其他线段的圆心角之和。取计算目标为其他圆心角和+2π−最大圆心角，此时情况取反。

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代码(引用https://blog.csdn.net/flashmsn/article/details/94642687)

#include<cstdio>
#include<cmath>
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;//比较精度
//求圆心角之和
double totalCornerAngles(double edges[],int n,double r){
    double sum = 0.0;
    for(int i =0;i<n;i++)
        sum+=asin(edges[i]/2/r)*2;
    return sum;
}

int main(){
    int N;//边数
    scanf("%d",&N);//输入边数
    double edges[100];//边长数组
    double sum;//圆心角之和
    double maxAngle=0.0;//最长边对应的圆心角
    double maxEdge=0.0;//最长边

    //初始化edges
    for(int i=0;i<N;i++){
        scanf("%lf",&edges[i]);
        if(edges[i]>maxEdge)
            maxEdge = edges[i];//保存最大边
    }
    //以最长边为直径求圆心角之和，若为2π则直接返回
    sum = totalCornerAngles(edges,N,maxEdge/2);
    if(fabs(sum-PI*2)<eps){
        printf("外接圆的最大半径是最大边的一半：%.2f",maxEdge/2);
        return 0 ;
    }

    //半径大于最大边的一半（即斜边大于直角边）
    double left =maxEdge/2,right=10000000,mid;
    double other=0;

     //在误差范围内循环求解
    while(right -left >eps){
         mid = (right + left) /2;
         maxAngle=asin(maxEdge/2/mid)*2;//求出最大边对应的圆心角
         sum = totalCornerAngles(edges,N,mid);
         other=sum-maxAngle;
         //如果除去最大圆心角的其他圆心角之和小于π，说明圆心在多边形外面
         if(other<PI){
             sum=other+2*PI-maxAngle;
             if( sum<2*PI)
                 left = mid;
             else
                 right = mid;
         }
         //圆心在多边形里面
         else{
             if(sum>2*PI)
                 left = mid;
             else
                right = mid;
         }
    }
    printf("外接圆的最大半径是：%.2lf",mid);
    return 0;
 }

参考：https://blog.csdn.net/liuerin/article/details/98961797