JZOJ 5791. 【NOIP2008模拟】阶乘

5791. 【NOIP2008模拟】阶乘 
(File IO): input:factorial.in output:factorial.out

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Description

有n个正整数a[i]，设它们乘积为p，你可以给p乘上一个正整数q，使p*q刚好为正整数m的阶乘，求m的最小值。

 

Input

共两行。
第一行一个正整数n。
第二行n个正整数a[i]。

Output

共一行
一个正整数m。

 

Sample Input

1
6

Sample Output

3

样例解释：
当p=6，q=1时，p*q=3！
 

 

Data Constraint

对于10%的数据，n<=10
对于30%的数据，n<=1000
对于100%的数据，n<=100000，a[i]<=100000
 

 

做法：

题目要求一个最小的m使m！包含p这个因子。

可以把p分解质因数，假设p=∏ai^bi（ai为质数），那么只要m！包含了每个ai^bi，m！就包含p。

所以对于每个ai^bi，分别求出满足条件的最小的m，取最大值即可。

怎么求m？

先看一个简单的问题：

27！里面有多少个3相乘？

27！=1*2*...*27

包含1个3的数有27/(3^1)=9个

包含2个3的数有27/(3^2)=3个

包含3个3的数有27/(3^3)=1个

总共：9+3+1=13个

所以27！里面有13个3相乘。

用这个方法就可以求得m！有多少个ai相乘，二分判断即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define LL long long
#define N 600007
using namespace std;
LL n, zs[N], T, a[N];
LL tot = 1, ans;
bool b[N]; 

void Pre_work()
{
    for (int i = 2; i <= N / 2; i++)
    {
        if (!b[i])
        {
            zs[++zs[0]] = i;
            for (int j = 1; j <= zs[0]; j++)
                if (i * zs[j] > N / 2)    break;
                else    b[zs[j] * i] = 1;
        }
        else
        {
            for (int j = 1; j <= zs[0]; j++)
                if (i * zs[j] > N / 2)    break;
                else    b[zs[j] * i] = 1;
        }
    }
}

LL max(LL a, LL b)
{
    return a > b ? a : b;
}

void Cl(LL x)
{
    for (int i = 1, p = x; p > 1; i++)
        for (; p % zs[i] == 0; p /= zs[i])
        {
            if (!b[p])
            {
                a[p]++;
                T = max(T, p);
                p = 1;
                break;
            }
            a[zs[i]]++, T = max(T, zs[i]);
        }
}

bool Check(LL ain)
{
    for (int i = 1; i <= T; i++)
    {
        int j = zs[i];
        LL Jl = 0;
        for (LL k = j; (k <= ain) && (Jl < a[zs[i]]); k *= j) Jl += ain / k;
        if (Jl < a[zs[i]])    return 0;
    }
    return 1;
}

void Find()
{
    LL l = 1, r = 100000000;
    while (l < r)
    {
        LL mid = (l + r) / 2;
        if (Check(mid))    r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    printf("%lld", l);
}

int main()
{
    freopen("factorial.in", "r", stdin);
    freopen("factorial.out", "w", stdout);
    scanf("%lld", &n);
    LL x;
    Pre_work();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &x);
        if (!b[x])
        {
            a[x]++, T = max(T, x);
            continue;
        } 
        Cl(x);
    }
    Find();
}