JZOJ 3521. 道路覆盖

Description

ar把一段凹凸不平的路分成了高度不同的N段，并用H[i]表示第i段高度。现在Tar一共有n种泥土可用，它们都能覆盖给定的连续的k个部分。

对于第i种泥土，它的价格为C[i]，可以使得区间[i,min(n,i+k-1)] 的路段的高度增加E[i]。

Tar要设定一种泥土使用计划，使得使用若干泥土后，这条路最低的高度尽量高，并且这个计划必须满足以下两点要求：

（1）每种泥土只能使用一次。

（2）泥土使用成本必须小于等于M。

请求出这个最低的高度最高是多少。

Input

第一行为如上文所示的三个正整数：N,M,K。

接下来N行，每行3个如上文所示的正整数H[i],E[i],C[i]。

Output

输出有且只有一个数字，为最底部分的高度的最大值

Sample Input

4 20 1

1 3 5

1 7 3

4 6 9

3 5 13

Sample Output

3

做法（转自JZOJ）：

二分+状态压缩：
二分枚举最低的高度，接下来考虑判断合法性：设f[i][j]表示在前i位完成j状态的最小金钱代价，那么只要存在状态x使得f[n][x]≤M。然后再考虑状态的转移：注意对于一位i只由它的前k位得到,那么就是说f[i][j]由它的前k位得到，所以j只有k位。k的范围是极小的所以不会超时；要使枚举的最小高度l合法，还要满足该点决策完成之后的高度≥l。然后我们就可以根据条件来进行状态转移：
f[i+1][不选的状态j]=minx(f[i+1][j>>1],f[i][j]); 且要满足最小高度为x //该位不选f[i+1][选之后的状态j]=minx(f[i+1][(j>>1)|(1<<(k-1))],f[i][j]+c[i+1]); 满足“最小高度”为x //该位选

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define N 107 
using namespace std;
int c[N], e[N], h[N], n, m, k;
int f[N][1<<12], l, r;

void Init()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d", &h[i], &e[i], &c[i]);
}

bool check(int x){
    memset(f, 0x7f7f7f7f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < (1 << k); j++)
            if (f[i][j] != 0x7f7f7f7f) 
            {
                int heigh = 0;        
                for (int l = 1; l < k; l++)
                    if (j & (1 << l)) heigh += e[i - k + l + 1];
                if (heigh + h[i + 1] >= x)    
                    f[i + 1][j >> 1] = min(f[i + 1][j >> 1], f[i][j]);
                if (heigh + h[i + 1] + e[i + 1] >= x)
                    f[i + 1][(j >> 1) | (1 << (k - 1))] = min(f[i + 1][(j >> 1) | (1 << (k - 1))], f[i][j] + c[i + 1]);
            }
    for (int i = 0; i < (1 << k); i++)
        if (f[n][i] <= m) return 1;
    return 0; 
}

int main()
{
    freopen("cover.in", "r", stdin);
    freopen("cover.out", "w", stdout);
    Init();
    l = 0, r = 1e8;
    while(l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if    (check(mid))    l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    printf("%d", l);
}