动态规划 VS 贪心算法

分治：将问题划分为互不相交的子问题递归求解。

动规：应用于子问题重叠的情况。求解过程中将子问题的解记录在表格中。

 

动态规划主要用于求解最优化问题。

求解步骤：

1. 找到最优子结构。最优子结构性质：问题的最优解由相关的子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 自底向上地计算最优解的值。
4. 得到最优解。

ps:

* 子问题可以与原问题求解形式一样但规模更小。

* 自顶向下的递归方法：总是重复求解相同的子问题。

* 动态规划方法：仔细安排求解顺序，对每个子问题只求解一次，并将结果保存。

* 动态规划方法有两种等价实现：1. 带备忘的自顶向下法（递归求解）。2. 自底向上法（循环求解）。pps: 第一种其实就是记忆化搜索。

* 子结构要求子问题无关的。 

 

子问题图

可以看作自顶向下递归调用树的“简化版”。即原递归调用树种的相同子问题合并为子问题图中的单一节点。相同的所有边都从父节点指向子节点。

当思考动态规划问题时，要弄清楚涉及的子问题及子问题之间的依赖关系。

用点表示子问题，用有向边<x, y> 表示求解子问题 x 的最优解需要用到子问题 y 的最优解。

自底向上动态规划算法是按“逆拓扑序”来处理子问题图中的顶点。即：对于任何子问题，只有它以来的所有子问题均已求解完成，才会求解它。

 

适合用动态规划方法求解的最优化问题

1. 包含最优子结构。

2. 子问题重叠。

 

发掘最优子结构的通用模式

1.证明问题的最优解的第一个组成部分是做出一个选择。做出这个选择会产生一个或多个待解决的子问题。

2.对于给定问题，在其可能的第一步选择中，假定已知哪种选择会得到最优解。

3.给定可获得最优解的选择后，你确定这次选择会产生哪些子问题。

4.反证法可证明：作为构成原问题最优解的组成部分，每个子问题的解就是它本身的最优解。

 

对于不同问题，最优子结构的不同体现在：

1.原问题的最优解中数涉及多少个子问题，以及

2.在确定最优解使用哪些子问题时，需要考虑多少种选择。

 

动态规划方法中，通常自底向上地使用最优子结构。即：先求子问题的最优解，然后求原问题的最优解。在求解原问题过程中，需要在涉及的子问题中做出选择，选择能得到原问题最优解的子问题。

 

贪心 VS 动态规划

贪心：先做出贪心的选择得到子问题（当时看是最优的选择），然后求解子问题。（先选择再求解子问题）

动规：求出每个子问题的最优解，然后选择能得到原问题最优解的子问题。（先求解子问题再选择）

 

子问题无关 VS 重叠子问题

子问题无关：最优子结构中要求子问题无关，即：每个子问题可以独立求解；同一个原问题的一个子问题的解不影响另一个子问题的解。

重叠子问题：向下求解原问题的最优解的过程中，会重复求解某同一个子问题。即：求解某个子问题的子子问题与其他子问题的子子问题一样。

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