柱状图中最大的矩形

分治算法：

通过观察，可以发现，最大面积矩形存在于以下几种情况：

确定了最矮柱子以后，矩形的宽尽可能往两边延伸。

在最矮柱子左边的最大面积矩形（子问题）。

在最矮柱子右边的最大面积矩形（子问题）。

 

举个例子：
[6, 4, 5, 2, 4, 3, 9]

这里最矮柱子高度为 2 。以 2 为高的最大子矩阵面积是 2x7=14 。现在，我们考虑上面提到的第二种和第三种情况。我们对高度为 2 柱子的左边和右边采用同样的过程。在 2 的左边， 4 是最小的，形成区域为 4x3=12 。将左边区域再继续分，矩形的面积分别为 6x1=6 和 5x1=5 。同样的，我们可以求出右边区域的面积为 3x3=9, 4x1=4 和 9x1=9 。因此，我们得到最大面积是 16 。具体过程可参考下图：

 

代码：

public class Solution {
    public int calculateArea(int[] heights, int start, int end) {
        if (start > end)
            return 0;
        int minindex = start;
        for (int i = start; i <= end; i++)
            if (heights[minindex] > heights[i])
                minindex = i;
        return Math.max(heights[minindex] * (end - start + 1), Math.max(calculateArea(heights, start, minindex - 1), calculateArea(heights, minindex + 1, end)));
    }
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        return calculateArea(heights, 0, heights.length - 1);
    }
}