day3 复杂度分析——大O表示法

大O复杂度表示法

　　大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，
　　所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

　　1. 只关注循环执行次数最多的一段代码　　

　　　　大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。

　　　　所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

　　2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度　

　　　　总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

　　　　比如说，如果初步分析出复杂度为O(n+2n+n^2),那么它的总时间复杂度为O(n^2)。

　　　　那我们将这个规律抽象成公式就是：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；

　　　　那么 T(n) = T1(n)+T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n))).

　　3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

　　　　落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，我举个例子给你解释一下。

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

　　　　T1(n) = O(n)。T2(n) = O(n)。

　　　　整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

几种常见时间复杂度实例分析

　　　　　　

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n)和O(n!)。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

　　稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。

　　或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

2. O(logn)、O(nlogn)

　　以2为底

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

　　　以3为底

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

　　实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。　　

　　因为，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

　　如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？

　　如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。

　　而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。代码如下：

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

　　从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

　　针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。 

空间复杂度分析

前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

类比一下，空间复杂度（asymptotic space complexity)，全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

具体例子如下：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

　　跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。

　　第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

　　

　　我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n^2)，像 O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。

　　而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

内容小结

　　复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

　　常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)。之后你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。