一. Djikstra算法定义
形式：用来解决单源最短路径的问题，即给出图G和起点s，通过算法到达每个顶点的最短距离。基本思想: 对图G(V, E)设置集合S， 存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点u，访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点， 优化起点和所有的从u能到达的顶点v之间的最短距离。这样的操作执行n（顶点的个数）次。伪代码:
//G为图， 一般设置为全局变量，数组d为源点到达各点的最短路径长度，s为起点
Djikstra(G, d[], s){
初始化
for(循环n次){
u = 是d[u]最小的还未被访问的顶点的标号
记u已被访问
for(从u出发能到达的所有顶点v){
if(v未被访问&&以U为中介使得s到顶点v的最短距离d[v]更优){
优化d[v]
}
}
}
}
二、具体实现
1. 邻接矩阵版
const int MAXV = 1000;//最大顶点数
const int INF = 10000000000;//设INF为一个很大数
//适用于点数不大的情况
int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vis[MAXV];
void Dijkstra(int s){
fill(d, d+MAXV, INF);
d[s] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
int u = -1. MIN = INF;//u使d[u]最小， MIN存放该最小d[u]
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
//找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点与s不连通
if(u == -1) return;
vis[u] = true;//标记u为已访问
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
}
}
}
}
2. 邻接表版
struct node{
int v, dis;//v为边的目标顶点，dis为边权
};
vector<node> Adj[MAXV];
int n;
int d[MAXn];
bool vis[MAXV] = {false};
void Dijkstra(int s){
fill(d, d+MAXV, INF);
d[s] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
int u = -1, MIN = INF;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
if(u == -1) return;
vis[u] = true;
//只有这个部分与邻接矩阵自而发不同
for(int j = 0; j < Adj[u].size(); j++){
int v = Adj[u][j].v//通过邻接表直接获得u能够到达的v
if(vis[v] == false && d[u] + Adj[u][j].dis < d[v]){
d[v] = d[u] + Adj[u][j].dis;
}
}
}
}
3. 最短路径的求法（在上面的基础上）
- 如果题目中给出的是无向图，那么根据邻接表和邻接矩阵自行改变即可，如果是邻接矩阵可以在两边同时加上一样的权值；如果是邻接表那么使用push_back,也是同时交换输入。
<1>以邻接矩阵为例
const int MAXV = 1000;//最大顶点数
const int INF = 10000000000;//设INF为一个很大数
//适用于点数不大的情况
int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vis[MAXV];
int pre[MAXV];//表示从起点到顶点v的最短路径上v的前一个顶点（新添加）
void Dijkstra(int s){
fill(d, d+MAXV, INF);
d[s] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
int u = -1. MIN = INF;//u使d[u]最小， MIN存放该最小d[u]
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
//找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点与s不连通
if(u == -1) return;
vis[u] = true;//标记u为已访问
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
//就是在这里改变，添加了一条语句
pre[v] = u;//新添加
}
}
}
}
//如何打印，就是递归打印
void dfs(int s, int v){
if(v == s){
printf("%d
", s);
return;
}
dfs(s, pre[v]);
printf("%d
", v);
}
4. 会出现的其他情况，即附加条件
- 即出现除了第一个条件最短路径外，可能还会有其他的条件限制，如有多条路径
- 每条边增加一个边权（花费）；
- 每个点增加一个点权（如每个城市可以收到的物资）；
- 直接问有多少条最短路径。
<1>新增边权。以新增边权花费为例，都是在最后判断出进行修改，其余均不需改动，因为是新增边权，所以在存储上和原来的最短路径是一样的，就是新开辟数组cost[][],然后设立数组c，用于存储最小花费。初始化c[s]=0,其余都初始化为c[u]=INF.
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
c[v] = c[u] + cost[u][v];
}else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && c[u] + cost[u][v] < c[v]){
c[v] = c[u] + cost[u][v];
}
}
}
<2>新增点权，以新增的点权代表城市中能收集到的物资为例，用weight[u]表示城市u中物资数目，并增加一个数组w[],令其为起点s到到达顶点u可以收集的最大物资w[u].初始化w[s] = weight[s], 其余w[u] = 0.
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
w[v] = w[u] + weight[v];
}else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && w[u] + weight[v] > w[v]){
w[v] = w[u] + weight[v];
}
}
}
<3>求最短路径的条数。只需要增加一个数组num[],初始时num[s] = 1,其余都为num[u] = 0.
for(int v = 0; v < n; v++){
//如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
num[v] = num[u];
}else if(d[u] + G[u][v] == d[v]){
num[v] += num[u];
}
}
}
五、更优的遍历模板（Djikstra+DFS）
- 只考虑最短路径（距离）的Djikstra算法，然后从这些最短距离中选出一条第二尺度最优的路径出来。
1. 使用Djikstra算法记录所有最短的路径
- 我们需要使用vector，来记录最短路径的前驱结点，因为最短路径的条数可能不止一条。
- 通过vector类型的数组就可以通过DFS来获取所有的最短路径。
- 首先讲解如何获取这个pre数组，本部分的Djikstra算法只需考虑距离这一因素，不必受第二尺度的干扰，之前的写法中，数组初始化pre[i] = i，表示在初始条件下的前驱为自身，但是在这不需要进行初始化，因为可能会进行更新操作。
代码：
vector<int> pre[MAXN];
void Djikstra(int s){
fill(d, d+MAXN, INF);
d[s] = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
int u = -1, MIN = INF;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
u = j;
MIN = d[j];
}
}
if(u == -1) return;
vis[u] = true;
for(int v = 0; v < n; v++){
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
d[v] = d[u] + G[u][v];
pre[v].clear();//更新清空操作，这就是为啥不用初始化。
pre[v].push_back(u);
}else if(d[u] + G[u][v] == d[v]){
pre[v].push_back(u);
}
}
}
}
}
2. 遍历所有最短路径找出一条使第二尺度最优的路径
- 与之前不同的是，之前的写法是使用一个递归来获取最短路径，，但是现在可能存在多个前驱结点，所以遍历的过程就是会形成一棵递归树。
- 当对于这棵树进行遍历的时候，每次到达叶子结点，也就是起点，就会产生一条完整的最短路径。
- 得到最短路径后，可以进行第二尺度的计算，然后进行跟新，找出最优的最短路径。
- 接下来考虑如何进行DFS函数的书写：
- 最为全局变量的最优值optValue
- 记录最优路径的数组path(使用vector)
- 临时记录DFS遍历到叶子结点时的路径tempPath(也使用vector记录)
- 然后就是递归边界和递归式
- 递归边界，如果当前访问的结点是叶子结点（也就是路径的起点st），那么说明到达递归边界，此时tempPath，存放了一天最短路径，求出第二尺度value的值，与optValue进行比较，如果更优那么进行覆盖。
- 对于递归式，只需对于pre[v]中的所有前驱结点进行遍历即可。
- 递归过程中tempPath是如何生成的，只需在访问结点v时，将v添加到tempPath中即可，然后遍历递归，等pre[v]中所有结点遍历完毕后，把tempPath最后面的v弹出。
- 需要注意的是，叶子结点（也就是路径的起点st），没有办法通过上的写法直接加入tempPath，因此在访问到叶子节点的时候临时加入。
代码：
int optValue;
vector<int> pre[MAXN];
vector<int> path, tempPath;
void DFS(int v){//当前访问结点v
//递归边界
if(st == v){//如果到达叶子结点st（即路径起点）
tempPath.push_back(v);
int value;//存放临时路径tempPath的第二尺度的值
计算路径tempPath上的value
if(value 优于 optValue){//更新第二尺度最优值与最优路径
optValue = value;
path = tempPath;
}
tempPath.pop_back();//将刚加入的结点删除
return;
}
//递归式
tempPath.push_back(v);//将当前访问结点加入临时路径的最后
for(int i = 0; i < pre[v].size(); i++){
DFS(pre[v][i]);
}
tempPath.pop_back();//遍历完所有前驱结点，将当前结点v删除
}
- 对于上面部分，我们只需要针对于题目的要求，对计算路径tempPath的value进行修改即可，而这个地方一般会涉及路径边权或者点权的计算，需要注意的是，由于递归的原因，存放在tempPath中的路径结点是逆序的，因此访问结点需要倒着进行，当然如果仅是对于边权或点权进行求和，正着访问也是没有问题的。
//边权之和
int value = 0;
for(int i = tempPath.size()-1; i > 0; i--){
//当前结点id， 下一个结点idNext
int id = tempPath[i], idNext = tempPath[i-1];
value += V[id][idNext];//value增加边id->idNext的边权
}
//点权之和
int value = 0;
for(int i = tempPath.size()-1; i >= 0; i--){
int id = tempPath[i];
value += W[id];
}