后缀数组（学习笔记）

后缀数组用来处理一类字符串问题

学习博客

https://www.cnblogs.com/victorique/p/8480093.html#autoid-1-2-1

求LCP

　　RMQ，nlogn 预处理，O(1)查询     或者线段树单次查询 O(logn)

　

void st_init(){
    lg[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1; 
    for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=height[i];
    for(int j=1;j<=lg[n];j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int query(int x,int y){
    int len=y-x+1;
    return min(st[x][lg[len]],st[y-(1<<lg[len])+1][lg[len]]);
}

int lcp(int x,int y){
    int l=min(rk[x],rk[y])+1,r=max(rk[x],rk[y]);
    return query(l,r);
}

例题1 ：hihocoder #1403 后缀数组一 重复旋律

最长可重叠重复K次子串问题

　　转化为求 height 数组中长度为 k-1 的子序列的最小值，单调队列维护即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 20020;
const int maxm = 110;

int n,m,t,ans;
int a[maxn];
int c[maxn],sa[maxn],rk[maxn],x[maxn],y[maxn],height[maxn];

int head,tail,q[maxn],p[maxn];

void get_sa(){
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=a[i],++c[x[i]];
    for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) sa[c[x[i]]--]=i;
    
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int num=0;
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++num]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
        for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ++c[x[i]];
        for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
        swap(x,y);
        x[sa[1]]=1;
        num=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num;
        }
        if(num==n) break;
        m=num;
    }
}

void get_height(){
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n && j+k<=n && a[i+k]==a[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }
}

ll read(){ ll s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ s=s*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return s*f; }

int main(){
    n=read(),t=read(),m=100;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    get_sa();
    get_height();

//    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",height[i]);
    head=0,tail=1; t--;
    if(t==0){
        printf("%d\n",n);
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<=tail && q[tail]>height[i]) --tail;
        q[++tail]=height[i];
        p[tail]=i;
        while(p[head]<i-t+1) head++;
        if(i>=t) ans=max(ans,q[head]);
    }
    
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
} 

例题2 ：hihocoder #1407 后缀数组二 重复旋律2

最长不可重叠重复子串问题

　　height数组不好直接来判断是否有重合，转化为二分判断性问题，二分一个k，表示我们假设串中存在长度为k的不可重叠重复子串，

遍历 height数组，如果相邻的 height>=k，则将其分为一组，如果一组中 maxsa-minsa>=k 的话，则成立

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 101000;

int n,m;
int a[maxn],sa[maxn],rk[maxn],c[maxn],x[maxn],y[maxn],height[maxn];

void get_sa(){
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=a[i],++c[x[i]];
    for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) sa[c[x[i]]--]=i;
    
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int num=0;
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++num]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
        for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ++c[x[i]];
        for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
        swap(x,y);
        x[sa[1]]=1;
        num=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num; 
        }
        if(num==n) break;
        m=num;
    }
}

void get_height(){
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n && j+k<=n && a[i+k]==a[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }
}

bool check(int k){
    int minsa,maxsa;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(height[i]<k){
            minsa=sa[i];
            maxsa=sa[i];
        }else{
            minsa=min(minsa,sa[i]);
            maxsa=max(maxsa,sa[i]);
        }
        if(maxsa-minsa>=k) return true;
    }
    return false;
}

ll read(){ ll s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ s=s*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return s*f; }

int main(){
    n=read(),m=1000;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    get_sa();
    get_height();
//    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",height[i]);

    int L=0,R=n,ans;
    while(L<=R){
        int mid=(L+R)/2;
        if(check(mid)){
            ans=mid;
            L=mid+1;
        }else{
            R=mid-1;
        }
    }
    
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

 例题3 ：hihocoder #1415 后缀数组三 重复旋律3

　　经典的最长公共子串问题

　　将两个串合并成一个串，中间添加一个 # 字符，查找相邻且不在同一个字符串中的 height 的最大值

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 201000;

int n,m,pos;
int sa[maxn],rk[maxn],c[maxn],x[maxn],y[maxn],height[maxn];
char s1[maxn],s2[maxn>>1];

void get_sa(){
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=s1[i],++c[x[i]];
    for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) sa[c[x[i]]--]=i;
    
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int num=0;
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++num]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
        for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ++c[x[i]];
        for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
        swap(x,y);
        x[sa[1]]=1;
        num=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num; 
        }
        if(num==n) break;
        m=num;
    }
}

void get_height(){
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n && j+k<=n && s1[i+k]==s1[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }
}

bool check(int k){
    int minsa,maxsa;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(height[i]<k){
            minsa=sa[i];
            maxsa=sa[i];
        }else{
            minsa=min(minsa,sa[i]);
            maxsa=max(maxsa,sa[i]);
        }
        if(maxsa-minsa>=k) return true;
    }
    return false;
}

ll read(){ ll s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ s=s*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return s*f; }

int main(){
    m=1000;
    scanf("%s",s1+1); scanf("%s",s2+1);
    n=strlen(s1+1);
    pos=n+1;
    s1[n+1]='#'; int n2=strlen(s2+1);
    for(int i=n+2,j=1;j<=n2;i++,j++) s1[i]=s2[j];
    n+=1+n2;
    
    get_sa();
    get_height();
//    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",height[i]);
    
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if((sa[i]<pos && sa[i-1]>pos) || (sa[i]>pos && sa[i-1]<pos)){
            ans=max(ans,height[i]);
        }
    }
    
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

 　　扩展：求多个字符串的最长公共子串

例题4：hihocoder #1419 后缀数组四 重复旋律4

　　重复次数最多的连续子串

　　枚举长度 l ，枚举启示位置 p 为 l 的倍数，以 i - l + lcp(l, p) mod l 为分界线，右边的值因为LCP不够大，一定不能增加一个循环节。并且如果k(l, p - l + lcp(l, p) mod l)没有增加循环节的话，说明[p - l + lcp(l, p) mod l, p]这段中间匹配出错，左边的lcp也跟着雪崩，更不可能增加循环节了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 301000;

int n,m,pos;
int sa[maxn],rk[maxn],c[maxn],x[maxn],y[maxn],height[maxn];
char s1[maxn];

int st[maxn][22],lg[maxn];

void get_sa(){
    for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=s1[i],++c[x[i]];
    for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) sa[c[x[i]]--]=i;
    
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int num=0;
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++num]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
        for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ++c[x[i]];
        for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
        swap(x,y);
        x[sa[1]]=1;
        num=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num; 
        }
        if(num==n) break;
        m=num;
    }
}

void get_height(){
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(rk[i]==1) continue;
        if(k) k--;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n && j+k<=n && s1[i+k]==s1[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }
}

void st_init(){
    lg[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1; 
    for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=height[i];
    for(int j=1;j<=lg[n];j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int query(int x,int y){
    int len=y-x+1;
    return min(st[x][lg[len]],st[y-(1<<lg[len])+1][lg[len]]);
}

int lcp(int x,int y){
    int l=min(rk[x],rk[y])+1,r=max(rk[x],rk[y]);
    return query(l,r);
}

ll read(){ ll s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ s=s*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return s*f; }

int main(){
    m=1000;
    scanf("%s",s1+1);
    n=strlen(s1+1);
    
    get_sa();
    get_height();
//    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",height[i]);
    
    st_init();
    
    int ans=0;
    for(int l=1;l<=n;l++){ // 调和级数 nlogn 
        for(int i=1;i+l<=n;i+=l){ // 枚举倍数 
            int r=lcp(i,l+i);
            ans=max(ans,r/l+1);
            if(i-l+r%l>=0){
                ans=max(ans,lcp(i-l+r%l,i+r%l)/l+1);
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}