1.大于1000的奇数其平方与1的差是8的倍数。
2.角谷猜想
日本一位中学生发现一个奇妙的“定理”，请角谷教授证明，而教授无能为力，于是产生角谷猜想。猜想的内容是：任给一个自然数，若为偶数除以2，若为奇数则乘3加1，得到一个新的自然数后按照上面的法则继续演算，若干次后得到的结果必然为1。
3.四方定理
所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。
4.卡布列克常数。
任意一个四位数，只要它们各个位上的数字是不全相同的，就有这样的规律：
1)将组成该四位数的四个数字由大到小排列，形成由这四个数字构成的最大的四位数；
2)将组成该四位数的四个数字由小到大排列，形成由这四个数字构成的最小的四位数(如果四个数中含有0，则得到的数不足四位)；
3)求两个数的差，得到一个新的四位数(高位零保留)。
重复以上过程，最后得到的结果是6174，这个数被称为卡布列克数。
5.任取一个十进制整数，将其倒过来后与原来的整数相加，得到一个新的整数后重复以上步聚，则最终可得到一个回文数。