（1+√2）500 第99位数字是多少？100位呢？...（更多位的具体数字的计算方法有待探讨）
这个问题出自Emissary[3],1999 fall 卷。乍一看这个问题似乎有点难。及时你想偷懒决定利用计算机来算，也需要一定的耐心，且需要涉及特殊的程序（结合高效的算法），才能得到你需要的信息。
如果用计算机的话，因为√2不是常数，需要至少计算101位，而这已经超过了int类型4个字节的存储极限（2^32-1=42 9496 7295），即使使用_int64也无济于事。只能模拟运算了，而这个问题的难点在于模拟 幂运算 或者 两个大整数的乘法运算。有时间，不妨一试。
读了下面的方法，你会发现：数学是多么的事半功倍！
注意到下面的表达式
(1+√2)500 + (1-√2)500
是一个整数。因为当展开时，所有的√2 的奇次幂都消去了。后半部分是一个非常小的数，有多小？事实上，由于√2-1<1/2 ,(1/2)^500=2^(-500)，利用计算机领域常用的近似 2^10≈10^3 , 2^500≈10^150.
以上，我们有 (1-√2)500 < 10-150 .
不难想象， (1+√2)500 与上述表达式相差一个几乎可以忽略不计的量，它的十进制表示的小数点后面将有 一大串 的9 。实际上， (1-√2)500约等于 4×10-192
因此，小数点后面事实上有191个9，后面跟着590 591 051...特别地，第99位是9.
是不是感到不可思议呢？同理可知 (1+√2)502 也非常接近一个正整数，但是这两个大数之间的比例是 (1+√2)2 ,用十进制表示是：5.828 427 12...
添加(1-√2)500 的技巧看起来有些出乎意料，但是这些成对的共轭数的幂（其中一个很大一个很小）在数学中经常出现。Binet 著名的Fibbonacci 公式
Fn =(1/√5)( (1+√5)/2 )n - (1/√5)( (1-√5)/2)n
精确的给出了Fibbonacci数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...的通项公式，但是公式中的第二项已经足够小，以致于使得对任意的n>=0,只需计算 (1/√5)( (1+√5)/2 )n 并找到距离它最近的正整数，即可求出Fn.
2012-04-29 12:10:00 华电一校学一424