|
简单而有趣的“清一色”：1,11,111,1111,... 结论1：数列中所有的项模4余3。 证明：显然可以从所有的项模2余1来思考（关于mod的一些变式），这里用更基础的方法。 每一项可写成1+10n,或者11+100n,或者111+1000n的形式（显然n取值也是全1），以11+100n为例： 11+100n=4(25n+2)+3. over. 结论2：数列中除1外，没有一项是整数的平方。 证明：由于奇数的平方模4余1，偶数的平方模4余0。（见前一篇） 对比结论1，可得结论2。 over. 结论3：这一数列中，必定有一项是67的倍数。 证明：从该数列中，任取67个数，模67。根据鸽巢原理，至少有两个数的余数相同。假设为11..(m个1) 和 11..1(n个1)，m>n。 根据常识，同余的两个数中，大数减去小数肯定能被67整除，即11..00(m-n个1)能被67整除，而它可以写成11..1*10^n(m-n个1)，10^n显然不能被67整除，必定11..11(m-n个1)能被67整除。 事实上，所有不能被10^n整除的数都能被该数列中的某一项整除。比如13,17,89,...但是具体是哪一项，还有待探讨。“只在此山中，云深不知处”~ over. ps：起初对这个数列感兴趣，是想探讨多少个1是素数来着。10001个1是素数吗？本想学习大整数的素性测试算法，但发现不是那么容易的，最快素性判断算法还没出现，这能折衷一下或者干脆歇菜。这个应该跟RSA算法中大整数的素数分解有很密切的联系。 贴上获得的一些结论：不多于10000个1时，只有2个1、19个1、23个1、317个1、1031个1是素数。0.0 |