51nod1134——（最长上升子序列）

给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。

 

Input

第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

Output

输出最长递增子序列的长度。

Input示例

8
5
1
6
8
2
4
5
10

Output示例

5


题意：最经典的最长上升子序列问题，给出了你一个包含n个数的最长上升子序列，要你求出在这个序列中，单调递增的子序列最长为多少？例如：1 9 4 3 5 2 6 7的最长上升子序列为1 3 5 6 7或1 4 5 6 7。
思路：最长上升子序列有几种解法（菜鸟的我只会两种），一种最简单的dp解法是O（n^2），这里用不上。我这里用的是nlogn的。可以声明一个数组dp【1.....n】，dp【i】的意义是什么？它记录的是在整个序列中，长度为 i 的上升子序列末尾元素的最小值。所有如果你当前输入的元素num大于dp【i】，那么你就可以确定当前长度为i+1的上升子序列的末尾元素为num，否则你就要找出dp【1....i】中第一个大于等于num的元素的位置 j，用num来替换dp【j】，这意味着长度为 j 的上升子序列的末尾元素被减小为num了。

而求第一个大于等于num的数的方法可以用二分，因为你在更新dp数组的时候，前面的那些数就是有序的了。当然更简单的可以用《algorithm》中的lower_bound函数，它返回的是有序数组中第一个大于或等于某个数的元素的地址。当所有的元素被输入完后，dp数组下标就是最长上升子序列元素的个数。当然这种方法只能求最长上升子序列元素的个数，无法求出每一个元素是什么。

这一篇博客详细模拟了上面这种方法的每一步，可以看着理解一下：https://blog.csdn.net/fire_to_cheat_/article/details/78297534

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack> 
#include<queue>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793238462643383279
using namespace std;
int main()
{
    int n,num,dp[50005];
    while(cin>>n)
    {
        scanf("%d",&num);
        dp[0] = num;
        int cnt = 1;
        for(int i=1; i<n; ++i)
        {
            scanf("%d",&num);
            if(dp[cnt-1] < num) dp[cnt++] = num;
            else //lower_bound函数求第一个大于等于num的数 
            {
                int p = lower_bound(dp,dp + cnt - 1,num) - dp; //数的地址减去基地址等于数组下标 
                dp[p] = num;
            }
            /*else // 二分法求第一个大于等于num的数 
            {
                int low = 0,high = cnt-1;
                while(low <= high)
                {
                    int mid = (low + high)/2;
                    if(dp[mid] < num)
                        low = mid + 1;
                    else if(dp[mid] > num)
                        high = mid - 1;
                    else
                    {
                        low = mid;
                        break;
                    }
                }
                dp[low] = num;
            }*/ 
        }
        cout<<cnt<<endl;
    }
}