【题解】玲珑杯河南专场17B

　　容斥大法妙~其实网上很多的题解虽然给出了容斥系数，但是并没有说明为什么是这个样子的。在这里解释一下好了。

　　考虑用容斥，实际上就是让 (ans = sum_{Tsubseteq S}^{ }f_{T}*h_{T})。其中，(f) 为容斥的系数，而 (h) 为一个集合的‘贡献’。这个贡献的值往往对于集合当中的各个元素而言是独立的。由于这题中是要我们求出所有的被操作了奇数次的灯的数量，所以有：

(g_{x}=sum_{i = 1}^{x}inom{x}{i}*f_{i}=[x&1])

(g_{x}) 为是原数列中 (x) 个数的倍数的数所对答案产生的贡献

令(f[0] = 0)，

则(g_{x}=sum_{i = 0}^{x}inom{x}{i}*f_{i}=[x&1])

那么根据二项式反演，有

(f_x = sum_{i = 0}^{x} g_i * inom{x}{i}*(-1)^{x - i})

(f_x = sum_{i = 0}^{x}inom{x}{i}*(-1)^{x - i}[i&1])

根据(f_x = sum_{i = 0}^{x}inom{x}{i}*(-1)^{x - i}[i&1])

对(x) 的奇偶性分类讨论一下，再加上：

(inom{n}{1}+inom{n}{3}+inom{n}{5}...=2^{n - 1})

（这个式子就不用解释了吧……）

然后就得到了(f_x) 的表达式~

　　下面这份代码为 (n^{2}) 求出容斥系数，但实际上可以按照上文所说做到(O(1))……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000
#define int long long
int n, m, ans, cnt, S[maxn];
int f[maxn], a[maxn], C[maxn][maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c; c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

void Pre()
{
    for(int i = 0; i < 30; i ++) C[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i < 30; i ++)
        for(int j = 1; j < 30; j ++)
            C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
}

int Get(int x)
{
    int t = x & 1;
    for(int i = 1; i < x; i ++)
        t -= C[x][i] * f[i];
    return t;
}

int gcd(int a, int b)
{
    int c = 0;
    while(b) c = a % b, a = b, b = c;
    return a;
}

void dfs(int now)
{
    if(now == m + 1)
    {
        int lcm = 1;
        for(int i = 1; i <= cnt; i ++)
            lcm = lcm * S[i] / gcd(lcm, S[i]);
        ans += f[cnt] * (n / lcm);
        return;
    }
    S[++ cnt] = a[now]; dfs(now + 1);
    cnt --; dfs(now + 1);
}

signed main()
{
    int T = read(); f[0] = 0; f[1] = 1; Pre();
    for(int i = 2; i <= 20; i ++) f[i] = Get(i);
    for(int i = 1; i <= T; i ++)
    {
        n = read(), m = read(); ans = 0;
        for(int j = 1; j <= m; j ++) a[j] = read();
        dfs(1);
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}