好坑啊不开心……
其实这题的想法还是比较简单粗暴的。题目明示恰好xxx,显然排除斜率二分这个玩意儿,那么不就只剩下容斥了嘛……
令 (A_{x}) 为恰好出现了 (S) 次的至少有 (x) 种的方案数, ({B_{x}}) 为恰好出现了(S) 次的颜色恰好 (x) 种的方案数。(A_{x}) 可以 (O(1)) 求得,(A_{x} = frac{inom{n}{S * x} * (m - x) ^ {n - S * x} * (S * i)!}{(S!)^{x}})。(为了方便描述,我们在下面所说的颜色均为满足恰好出现 (S) 次的颜色)。
那么,一个恰好有 (x) 种颜色的方案对答案的贡献应该为
(我们先只考虑颜色种数恰好为 (k) 的)
(g_{x} = [x = k] = sum_{i = 0}^{x}inom{x}{i}f_{i})
((f_{i}) 为容斥系数)
二项式反演,得
(f_{x} = inom{k}{x} * (-1) ^ {k - x})
所以令 (B_{x}) 为恰好 (x) 种颜色的方案数,有:
(B_{x} = sum_{i = 0}^{m}inom{m}{i}*A_{i}*inom{i}{x}*(-1)^{i - x})
由于有 (m) 个(B_{x}) 要求值,且明显的给了一个NTT模数,
考虑转化成卷积的形式:
(把与各种变量相关的尽量整理到一起)
得到:(B_{x} = frac{(-1)^{-x}}{x!}sum_{i = 0}^{m}frac{inom{m}{i}*(-1)^{i}}{(i - x)!})
前面的是个常数,后面的是一个卷积(把 (i - x) 先 (+ m) 再反转(防止爆负))……上NTT就好了。
但这还没完!预处理逆元、阶乘逆元、阶乘的话会容易TLE!所以应该快速幂暴力处理逆元……(;′⌒`)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 10000005 #define mod 1004535809 #define int long long int n, m, M, S, W[maxn], G[maxn], a[maxn], b[maxn], c[maxn]; int ans, K, fac[maxn], A[maxn], B[maxn]; int lim = 1, len, rev[maxn]; int read() { int x = 0, k = 1; char c; c = getchar(); while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); } while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * k; } int Up(int x) { if(x >= mod) x -= mod; return x; } int Down(int x) { if(x < 0) x += mod; return x; } int Mod(int x) { x %= mod; if(x < 0) x += mod; return x; } int Qpow(int x, int timer) { int base = 1; for(; timer; timer >>= 1, x = x * x % mod) if(timer & 1) base = x * base % mod; return base; } #define inv(x) Qpow(x, mod - 2) int C(int n, int m) { if(n < m || n < 0 || m < 0) return 0; int t = fac[n] * inv(fac[m]) % mod * inv(fac[n - m]) % mod; return t; } void init() { fac[0] = 1; int t = max(n, m); for(int i = 1; i <= t; i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod; } void Pre() { for(int i = 0; i <= m; i ++) { if(S * i > n) break; int t = S * i, t1 = C(n, t) * fac[t] % mod; A[i] = t1 * Qpow(inv(fac[S]), i) % mod * Qpow(m - i, n - t) % mod; } for(int i = 0; i <= m; i ++) a[i] = C(m, i) * A[i] % mod * fac[i] % mod * Qpow(-1, i) % mod; for(int i = -m; i <= m; i ++) c[i + K] = i < 0 ? 0 : inv(fac[i]); for(int i = 0; i <= M; i ++) b[i] = c[M - i]; } void NTT(int *A, int opt) { int t = opt < 0 ? Qpow(3, mod - 2) : 3; for(int i = 0; i < lim; i ++) if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]); for(int l = 1; l < lim; l <<= 1) { int g = Qpow(t, (mod - 1) / (l << 1)); for(int i = 1; i < l; i ++) G[i] = 1ll * G[i - 1] * g % mod; for(int i = 0; i < lim; i += (l << 1)) for(int j = i; j <= i + l - 1; j ++) { int x = A[j], y = 1ll * G[j - i] * A[j + l] % mod; A[j] = Up(x + y); A[j + l] = Down(x - y); } } } signed main() { n = read(), m = read(), S = read(); K = m, M = m * 2 + 1; for(int i = 0; i <= m; i ++) W[i] = read(); init(), Pre(); G[0] = 1; while(lim <= M + m) lim <<= 1, len ++; for(int i = 0; i < lim; i ++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << ((len - 1))); NTT(a, 1), NTT(b, 1); for(int i = 0; i < lim; i ++) a[i] = a[i] * b[i] % mod; NTT(a, -1); int inv1 = Qpow(lim, mod - 2); for(int i = 0; i <= m; i ++) { int t = ((i & 1) ? -1 : 1) * inv(fac[i]) % mod * W[i] % mod; ans = Mod(ans + a[i + m + 1] * inv1 % mod * t % mod); } printf("%lld ", ans); return 0; }