pagerank是将众多网页看成一个有向图，每个页面就是有向图中的节点。计算每个节点的出度和入度。如果一个网站被大量其他的网页引用，那么他就会有更高的pr分数。
原理
对于所有与节点i相连的节点，用他们的pr值除以他们的出度（一个节点可以给多个节点投票，但是投票的权重会被平摊）
计算转移矩阵。第一列表示A的所有出度 (A->A, A->B, A->C, A->D) ，第一行表示A的所有入度 (A->A, B->A, C->A, D->A) 。
[M=left[egin{array}{llll}
0 & 0 & frac{1}{2} & 1 \
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & frac{1}{2} & 0
end{array}
ight]
]
用矩阵计算来更新pr值：
[PR_{i}=sum_{j in B_{i}} frac{PR_{j}}{L_{j}}
]
[PR(a)=M * P
]
[P_{1}=M cdot P_{0}=left[egin{array}{cccc}
0 & 0 & frac{1}{2} & 1 \
frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \
frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & frac{1}{2} & 0
end{array}
ight] cdotleft[egin{array}{c}
frac{1}{4} \
frac{1}{4} \
frac{1}{4} \
frac{1}{4}
end{array}
ight]=left[egin{array}{c}
frac{3}{8} \
frac{1}{8} \
frac{3}{8} \
frac{1}{4}
end{array}
ight]
]
(P)是它们的pr得分， (L)是节点的出度。计算下一层pr的方法就是，把相连的节点的pr都拿过来，但是要同时除以他们的出度。pr的默认值就是(frac{1}{n})
(0 * frac{1}{4} + 0 * frac{1}{4} + frac{1}{2} * frac{1}{4} + 1 * frac{1}{4} = frac{3}{8})
DeadEnds
当一个节点只有入度没有出度，那么他就是DeadEnds。这个节点会导致整个网页的pagerank值趋于0。
他的转移矩阵M如下，由于他的某一列全为0，导致所有结果都会变成0
[M=left[egin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
1 & 1 & 0 \
end{array}
ight]
]
可以看到两轮后就为0了
for i in range(3):
item = a.dot(item)
print(item)
# [0. 0. 0.66666667]
# [0. 0. 0.]
# [0. 0. 0.]
修正的方法就是在全为0的那一列加上一个平均值。他的含义就是如果一个页面不链接到任何其他网页，他们他就有可能转换到任何页面。
[M+a^{T}left(frac{e}{n}
ight)
]
- M 是转移矩阵
- a 是
n * n的向量，如果第i个节点的出度为0，那么a的第i列就全为1，否则就全为0. - e 是全1的
n * 1的向量 - 点乘操作（而不是矩阵运算）
其实就是在对应一列加上一个平均值
[M=left[egin{array}{cccc}
0 & 0 & frac{1}{3} \
0 & 0 & frac{1}{3} \
1 & 1 & frac{1}{3} \
end{array}
ight]
]
SpiderTraps
一个节点只有指向自己的链接，这种节点的权重在迭代的过程中会变成1，而其他的节点会趋于0.
这种节点的转移矩阵如下：
[M=left[egin{array}{cccc}
1 & frac{1}{2} & frac{1}{2} \
0 & 0 & frac{1}{2} \
0 & frac{1}{2} & 0 \
end{array}
ight]
]
由于这个节点的对角线元素是1，所以他的pagerank值会不断增加。他的解决方法就是引入一个概率(eta)，用户会有(eta)的概率停留在这个节点，有(1-eta)的概率跳转到其他任何网页。
[M=eta M+(1-eta) frac{e e^T}{n}
]
- (eta)是用户留在网页的概率
- e是全一的
n * 1向量，(ee^T)就是全一的n * n矩阵
这样的话，完整的公式如下所示：
[PR(a)=left[etaleft(M+a^{T}left(frac{e}{n}
ight)
ight)+(1-eta) frac{ee^T}{n}
ight] * PR
]
networkx实现
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import random
graph = nx.DiGraph()
graph.add_nodes_from(range(0, 100))
for i in range(200):
m = random.randint(0, 100)
n = random.randint(0, 100)
graph.add_edge(m,n)
nx.draw(graph, with_labels=True)
plt.show()
pr = nx.pagerank(graph, max_iter=100, alpha=0.01)
print(pr)
