UVA 11277 Cyclic Polygons（二分）

题意：已知圆的内接多边形的各个边长，求多边形的面积。

分析：

1、因为是圆的内接多边形，将多边形的每个顶点与圆心相连，多边形的面积就等于被分隔成的各三角形之和。

2、根据海伦公式，任意一个三角形的面积为：double p = (2 * r + a[i]) / 2，S = sqrt(p * (p - r) * (p - r) * (p - a[i]))，a[i]为多边形某条边的长度，由此可以表示出多边形的面积。

3、对于任意一个三角形，设其为半径的两条边的夹角为α，则sin(α/2) = (a[i] / 2) / r，所以α = 2 * asin(a[i] / 2 / r)。

4、注意asin()函数的计算结果是弧度值，所以所有三角形的夹角和应与2比较大小。

5、二分确定半径大小，并通过夹角和验证。

（1）二分设置一个上限

（2）judge()函数判断对于每一个三角形是否符合两边之和大于第三边，如果2 * r小于或等于a[i],说明半径过小，所以应当l = mid + eps。

（3）如果judge()函数成立，将所有三角形的夹角和与2比较，若小于，说明半径过长，因此r = mid - eps；若大于，说明半径过短，因此l = mid + eps；若相等，则符合要求。

6、注意浮点数比较大小。

7、若n<=2,则不构成多边形，输出0.000。

8、若最长边大于或等于其他所有边之和，则构不成多边形，输出0.000，即ma 大于或等于 sum - ma。

9、因为计算过程中会损失精度，结果最好加上eps。

10、本题虽然结果保留小数点后三位，但是为保证精度，eps设置为1e-15,而半径的查找上限设置为1e15。

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#define Min(a, b) ((a < b) ? a : b)
#define Max(a, b) ((a < b) ? b : a)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const ll LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, 1};
const int dc[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-15;
const int MAXN = 50 + 10;
const int MAXT = 10000 + 10;
using namespace std;
double a[MAXN];
int n;
int dcmp(double a, double b){
    if(fabs(a - b) < eps) return 0;
    return a < b ? -1 : 1;
}
bool judge(double r){
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        if(dcmp(2 * r, a[i]) != 1) return false;
    }
    return true;
}
int Equal(double r){
    double ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        ans += 2 * asin(a[i] / 2 / r);
    }
    return dcmp(ans, 2 * pi);
}
double get_R(double l, double r){
    int tmp = 100;
    while(tmp--){
        double mid = l + (r - l) / 2;
        if(!judge(mid)) l = mid + eps;
        else{
            int w = Equal(mid);
            if(w == 1) l = mid + eps;
            else if(w == -1) r = mid - eps;
            else return mid;
        }
    }
    return l;
}
double solve(){
    double r = get_R(0, 1e15);
    double sum = 0.0;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        double p = (2 * r + a[i]) / 2;
        sum += sqrt(p * (p - r) * (p - r) * (p - a[i]));
    }
    return sum;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        double ma = 0;
        double sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            scanf("%lf", &a[i]);
            sum += a[i];
            if(dcmp(a[i], ma) == 1) ma = a[i];
        }
        if(n <= 2 || dcmp(2 * ma, sum) != -1){
            printf("0.000\n");
            continue;
        }
        printf("%.3lf\n", solve() + eps);
    }
    return 0;
}