update on 2020.6.3
忘了以前写的博客是怎么样的了, 也不想校对, 趁着整理普及图论就重新写了点。
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树的直径
可以 树形DP 求, 也可以两次 dfs。
dfs 方法好像得出方案更容易。
这里给出 dfs方法。
dfs 求树直径的两端点
- 随便找一个点 \(s\), 随便选一个距离其最远的点 \(u\)
- 随便选一个距离 \(u\) 最远的点 \(v\)
那么路径 \(u \rightarrow v\) 就是这棵数的直径
正确性?
如果 \(u\) 确实是某条直径上的端点, 那么 \(v\) 就一定是另一个端点。
为什么 \(u\) 一定是某条直径的一个端点呢? 明明 \(s\) 是随便选的啊!
可以这样想:假定直径的两个端点分别为 \(u、v\), 不管 \(s\) 在不在直径上, 只要存在任意一点 \(t\) 距离 \(s\) 最远(大于 \(s\) 到 \(u\) 的距离 和 \(s\) 到 \(v\) 的距离), 那么就可以推出
路径 \(u \rightarrow v\) 不是直径。
原文
结论:离树上任意点\(u\)最远的点一定是这颗树直径的一个端点。
证明:
若点 \(u\) 在树的直径上,设它与直径两个端点 \(x,y\) 的距离分别为 \(S1\)、\(S2\),若距离其最远的点 \(v\) 不是这两个端点,
则 \(dist(u,v) > S1\) 且 \(dist(u,v) > S2\), 则必有 \(S1 + dist(u,v) > S1 + S2\) 或 \(S2 + dist(u,v) > S1 + S2\),这与 \((x,y)\) 是直径的
假设相悖。
反之 \(u\) 不在树的直径上,则其到直径最近的一点 \(mid\) 的距离为 \(dist(u,mid)\),设直径的两端点分别为 \(x,y\)。
若距离 \(u\) 最远的点不是 \(x,y\) 之一, 设距离 \(u\) 最远的点为 \(v\),
则路径 \(u->v\) 会出现如下几种情况:
1.完全经过路径 \(u->mid\)
2.完全不经过路径 \(u->mid\)
3.不完全经过路径 \(u->mid\)
这3种情况都能推出 \((x,y)\) 不是树的直径的结论。
故结论正确。