[ZJOI2019]线段树 solution?

( ext{Sooke} ’s solution is good)
点我

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人在荒原， 见滴水而喜qwq。

教训
写短小函数时多看两眼， 可能会减少错误率。

前置芝士

[sum_{xin S} x = sum_x x*(x在S中出现的次数) ]

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如果研究每次操作后所有线段树具体形态， 未免太难啦qwq。

由于所有线段树的结构都一样， 所以建一棵参考用的线段树， 对其每个点 (u) 都记录在第 (i) 次操作后， 有多少棵线段树（当然不包括这棵参考用的）的 (“u”) 节点是有 (tag) 的， 记为 (f_{i,u})， 则第 (i) 次操作的答案就是 (sum_{u in T} f_{i,u}) （(T) 表示参考线段树的节点集）。

据 ( ext{Sooke}) 的题解， 对于一次特定的修改操作， 线段树的节点被分为 (5) 类， 不同类的节点的 (f) 的计算方式显然不相同。

如图。

再结合题目给出的伪代码

发现可以将线段树的节点分为这么几类：

• 第一类为蓝色点， 修改时被经过， 修改后不会有 (tag)。
• 第二类为紫色点， 修改时于此为终点， 修改后被打上 (tag)。
• 第三类为灰色点， 虽然没有被经过， 但是可能会得到一个 (tag)。
• 第四类为白色点， 修改前后其是否有 (tag) 的状态不会改变。

可以对每类节点分别维护 (f)：

对于一类点， (f_{i,u} = f_{i-1,u} + 0)
对于二类点， (f_{i,u} = f_{i-1,u} + 2^{i-1})
对于四类点， (f_{i,u} = f_{i-1,u} + f_{i-1,u})
对于三类点， (f_{i,u} = f_{i-1,u} + ( 2^{i-1} - g_{i-1,u} ))

(g_{i,u}) 表示第 (i) 次操作后， 节点 (u) 到根一个 (tag) 都没有（包括 (u)）的线段树个数。

对于 (g) 的维护， 有：

对于一类点， (g_{i,u} = g_{i-1,u} + 2^{i-1})
对于二类点， (g_{i,u} = g_{i-1,u} + 0)
对于三类点， (g_{i,u} = g_{i-1,u} + g_{i-1,u})
对于四类点， …………？

发现白色点（四类点）的 (g) 的转移还跟其父节点的类别有关， 而白色点的父节点又只有灰、紫两种， 所以白色点就要再分成两类。

这样， 点就分成了 (5) 类， 转移不难得出。 （再次 (orz ext{Sooke}) ）

接下来就是如何维护线段树内 (f) 和的问题了。
发现每次操作时，除了白色点（原·四类点）要用懒标记维护外， 剩下的点直接在修改操作中维护就好。

代码不难（？）写出：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define li long long
const int mod = 998244353;
const int N = 1e6+15;
int n,m,id=0;
li jc2[100005];

int rt, tot, ch[N][2];
li sf[N], f[N], g[N], tf[N], tg[N];

inline li add(li x,li y) { x+=y; return x>=mod ? x-mod : x; }
inline li sub(li x,li y) { x-=y; return x>=0 ? x : x+mod;}
inline void ud(int u) { sf[u] = add(f[u], add(sf[ch[u][0]], sf[ch[u][1]])); }

void mlf(int u, li v) { tf[u]=tf[u]*v%mod; f[u]=f[u]*v%mod; sf[u]=sf[u]*v%mod; }
void mlg(int u, li v) { tg[u]=tg[u]*v%mod; g[u]=g[u]*v%mod; }
void ps(int u) {
	if(tf[u]!=1) {
		mlf(ch[u][0], tf[u]);
		mlf(ch[u][1], tf[u]);
		tf[u] = 1ll;
	}
	if(tg[u]!=1) {
		mlg(ch[u][0], tg[u]);
		mlg(ch[u][1], tg[u]);
		tg[u] = 1ll;
	}
}

void build(int &u,int l,int r) {
	u = ++tot;
	g[u] = tf[u] = tg[u] = 1ll;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ch[u][0],l,mid);
	build(ch[u][1],mid+1,r);
	ud(u);
}

void modi(int u,int l,int r,int x,int y) {
	if(x<=l&&r<=y) {
		sf[u] = 2ll*sf[u]%mod;
		sf[u] = sub(sf[u],f[u]);
		sf[u] = add(sf[u],jc2[id]);
		f[u] = add(f[u], jc2[id]);
		//二类点 
		tf[u] = 2ll*tf[u]%mod;
		//给四类点加tag 
		return;
	}
	ps(u);
	g[u] = add(g[u], jc2[id]);
	//一类点
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(y<=mid) {
		modi(ch[u][0],l,mid,x,y);
		
		sf[ch[u][1]] = sf[ch[u][1]]*2ll % mod;
		sf[ch[u][1]] = sub(sf[ch[u][1]], f[ch[u][1]]);
		sf[ch[u][1]] = add(sf[ch[u][1]], jc2[id]);
		sf[ch[u][1]] = sub(sf[ch[u][1]], g[ch[u][1]]);
		f[ch[u][1]] = add(f[ch[u][1]], jc2[id]);
		f[ch[u][1]] = sub(f[ch[u][1]], g[ch[u][1]]);
		g[ch[u][1]] = g[ch[u][1]]*2ll%mod;
		//右儿子是三类点
		tf[ch[u][1]] = tf[ch[u][1]]*2ll % mod;
		tg[ch[u][1]] = tg[ch[u][1]]*2ll % mod;
		//给五类点加tag 
	} else if(x>mid) {
		modi(ch[u][1],mid+1,r,x,y);
		
		sf[ch[u][0]] = sf[ch[u][0]]*2ll % mod;
		sf[ch[u][0]] = sub(sf[ch[u][0]], f[ch[u][0]]);
		sf[ch[u][0]] = add(sf[ch[u][0]], jc2[id]);
		sf[ch[u][0]] = sub(sf[ch[u][0]], g[ch[u][0]]);
		f[ch[u][0]] = add(f[ch[u][0]], jc2[id]);
		f[ch[u][0]] = sub(f[ch[u][0]], g[ch[u][0]]);
		g[ch[u][0]] = g[ch[u][0]]*2ll%mod;
		//左儿子是三类点
		tf[ch[u][0]] = tf[ch[u][0]]*2ll % mod;
		tg[ch[u][0]] = tg[ch[u][0]]*2ll % mod;
		//给五类点加tag
	} else {
		modi(ch[u][0],l,mid,x,y);
		modi(ch[u][1],mid+1,r,x,y);
	}
	ud(u);
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n,&m);
	jc2[0] = 1ll;
	for(int i=1;i<=m;++i) jc2[i]=(jc2[i-1]*2ll)%mod;
	build(rt, 1, n);
	register int op=0, l=0, r=0;
	while(m--)
	{
		scanf("%d", &op);
		switch(op) {
			case 1:
				scanf("%d%d", &l,&r);
				modi(rt,1,n,l,r);
				++id;
				break;
			case 2:
				printf("%lld
", sf[rt]);
				break;
		}
	}
	return 0;
}