早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,
y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,
y）= f（y, x % y）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
证明如下：
我们只需证明gcd(a,b)和gcd(b,a%b)可以互相整除即可。
对于gcd(a,b)，它是a和b的线性组合中的最小正元素，gcd(b,a%b) 是b与a%b的一个线性组合，而a%b是a与b的一个线性组合，因而gcd(b,a%b)是一个a与b的线性组合，因为a,b都能被gcd(a,b)整除，因而任何一个a与b的线性组合都能被gcd(a,b)整除，所以gcd(b,a%b)能被gcd(a,b)整除。反之亦然。
（摘自百度百科）
这都是网上比较正式比较权威的解释，直接就拿来用了。
下面是我写的一段代码，还有注释中是三种摘自网络上别人的不同解法。人家的代码简直精简到一塌糊涂。~~~~(>_<)~~~~
#include<stdio.h> /*欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数。*/
int gcd(int m,int n);
int main (void){
int m,n;
printf("请输入m和n的数值（都为正整数），将为你求出两个数的最大公约数：
");
scanf("%d %d",&m,&n);
printf("%d
",gcd(m,n));
return 0;
}
int gcd(int m,int n){ //我的递归法
if(n==0)
return m;
return gcd(n,m%n);
}
int gcd(int a,int b) //精简版递归法
{
return (b>0)?gcd(b,a%b):a;
}
/*int gcd(int a,int b) //位运算法。这个代码害怕不害怕。。
{
while(b^=a^=b^=a%=b);
return a;
} */
话说看到位运算法的时候真被吓到了。。确实非常精炼！
下面把这句提取出来，小小的分析一下。
while(b^=a^=b^=a%=b);
因为两个数字进行三次异或运算可以交换数值。
while（b>0）{
a=a%b; -->求出余数赋给a；
b=b^a; -->通过亦或运算，b的值变为其他值
a=a^b; -->a的值变为原b的值
b=b^a; -->b的值变为原a的值
}
return a;
这样，当b为0的时候，a就是最大公约数，然后返回这个值即可：
还有一种方法叫二进制gcd法