抽象代数 第三章 群
好久没有认真学习问题求解了=。=,一转眼就上了一本新的书TJ,介绍抽象代数的入门书。
我觉得在wiki已经说得很好了 wiki初等数论 需要科学上网
学习抽象代数之前
复习一下之前学过的相关知识
子集族和指标集
设J是一个非空集合,对于每一个j (in) J,对应集合S的一个子集(S_j),则通常说
(lbrace S_j|S_j subset S,j in J brace)
是S的一个以J为标号的子集族,J称为指标集
等价关系
同时满足反射性、对称性和传递性。
学习抽象代数的第一节课
代数结构
这章不是重点讲代数结构本身,代数结构=集合+在集合上定义的运算。
对于集合和代数运算本身还有更加精准的定义,不论。
群
群的定义
群是一种特殊的代数结构,设这个代数运算为(circ),则这个运算满足
- 结合律 :((acirc b )circ c=acirc (b circ c))
- 在这个运算下有且只有一个单位元(e),对于集合中的任意元素(a)有:(a circ e=e circ a=a)
- 在这个运算中每一个集合中的元素都有且有唯一逆元素在集合中: (g circ g^{-1}=g^{-1} circ g=e)
此时集合(G)在运算(circ)下构成一个群,记作((G,circ)),有时简称G是一个群
群的性质
- 单位元唯一
- 满足左右消去律
- 不需要满足交换律,若满足交换律,则这是一个“交换群”,也称“阿贝尔群”
- 群不一定需要零元素
子群
(G,(circ))是一个群,如果G的子集H对于(circ)也构成群,那么称(H,(circ))是(g,(circ))的子群,简称H是G的子群。
举例子:偶数加法群是整数加法群的一个子群
子群的性质
1.子群的单位元等于群的单位元
2.G是一个群,G的任意一个子群族的交集仍然是G的子群
3.H,K是G的子群,如果H,K的并集也是G的子群,那么(Hsubseteq G),或者(Gsubseteq H)。
一个群至少有两个子群:
- 平凡子群:仅仅有单位元一个元素的群
- 原来群本身
子群的判定
- 群G的单位元e在H中
- 如果(h_1,h_2 in H),那么(h_1h_2in H)
- 如果(h in H),那么(h^{-1} in H)
以上三个条件可以用一句判定来实现
proposition 3.31 如果H是G的一个子集,那么H是G的子集,当且仅当H不为空集,且对于任意(h_1,h_2 in H)有(h_1h_2^{-1} in H)
生成子群
设G是个群,S为其一非空子集,J为G的所有包含S的子集族,则称子群
(cap_{H in J} H)
为S在G中的生成子群,记作<S>
这是什么鸡儿完全听不懂=。=
简单的说就是:在抽象代数中,群G的生成集合是子集 S 使得所有 G 的有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。
循环群
对于生成子群的概念<S>,特别地,如果S只有一个元,即(S=lbrace s brace)时,群G称为循环群,如果有(g in G)则G=<g>
有限循环群
在循环群G=<g>中,如果有两个不同的整数r,k,使得(g^r=r^k),则存在整数m使得
- (g^m=e)
- 当(1leq i < j leq m),(g^i eq g^j)
- 若有整数t,(g^t=e)则m整除t
- <g>=(lbrace e,g,g^2,...,g^{m-1} brace)
无限循环群
如果对于任意不同的r,k,(g^r eq g^k),那么<g>是一个无限群
eg:整数加法群可以写成<1>
群的基础性质
proposition 3.17 单位元素是唯一的,只有唯一的元素(ein G)使得eg=ge=g,对于任意属于G的元素g。
proposition 3.18 对于群G中的任意元素g,存在唯一逆元(g^{-1})
proposition 3.19 对于群G中的任意元素a,b。有(((ab)^{-1})=b^{-1}a^{-1}).
proposition 3.20 对于群G中的任意元素a,有((a^{-1})^{-1}=a)
proposition 3.21 对于群G中的任意元素a,b,则等式ax=b、xa=b在G中拥有唯一的解
proposition 3.22 对于群G中的任意元素a,b,c,则等式ba=ca意味着b=c、等式ab=ac意味着b=c。(满足左右消去律)
一些更加普遍的性质
theorem 3.23
- (g^mg^n=g^{m+n}), for all m,n(in) Z;
- ((g^m)^n=g^{mn}), for all m,n(in) Z;
- ((gh)^n=(h^{-1}g^{-1})^{-n}), for all n(in) Z;
如果这个群是阿贝尔群则还有如下性质- ((gh)^n=g^nh^n)
如果这个群是建立在实数加法运算上,则可以直接改写,此处略。