生成函数计数总结
生成函数观点下的 Cayley 公式
我们知道 (n) 个节点有标号无根树有 (n^{n-2}) 种. 这其实也可以用生成函数求出.
设 (G(x)) 为指数生成函数, 其中 (i (i > 0)) 次项系数 (g_i) 表示 (i) 个节点的有标号有根树数目. 不考虑空树的影响, 即(g_0 = 0).
考虑一个根. 它每一个儿子的生成函数都与它相同, 为 (G(x)). 那么它的生成函数就是它儿子生成函数的一个组合, 即 (e^{G(x)}). 考虑到根本身的影响, 那么有:
[G(x) = xe^{G(x)}
]
所以,
[G(x)e^{-G(x)} = x
]
设 (F(x) = xe^{-x}), 那么 (F(x)), (G(x)) 互为复合逆.
可以拉格朗日反演:
[egin{aligned}
[x^n] G(x) & = frac 1n [x^{n-1}]((frac x{F(x)})^n) \
& = frac 1n [x^{n-1}](e^{nx}) \
& = frac {n^{n-1}}{n!}
end{aligned}
]
因此 (n) 个节点的有标号有根树有 (n^{n-1}) 种. 于是 (n) 个节点的有标号无根树有 (n^{n-2}) 种.