单调队列

单调队列

定义和性质

一个队列内部的元素具有单调性的一种数据结构，分为单调递增队列和单调递减队列。
单调递减队列队首元素为区间最大值，队尾元素为最近的大于新元素的元素下标。
单调递增序列维护区间最小值和最近的小于新元素的元素下标。

模板

int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){//单调不严格增
	while(r>=l&&a[q[r]]>a[i]) r--;
	q[++r]=i;
}

常见用法

给定一个n个数的数列，从左至右输出每个长度为m的区间内的最小数。

int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    while(r>=l&&a[q[r]]>=a[i]) r--;
    q[++r]=i;
    while(r>=l && q[l]<i-m+1)l++;
    if(i>=m)printf("%d ",a[q[l]]);
}

给定一个长度为n的数列a，找到最长的区间，max-min <= k

int l1=1,r1=0,l2=1,r2=0,now=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
	while(r1>=l1&&a[q1[r1]]<a[i]) r1--;//单调不严格减
	while(r2>=l2&&a[q2[r2]]>a[i]) r2--;//单调不严格增
	q1[++r1]=i;
	q2[++r2]=i;
	while(r1>=l1&&r2>=l2&&a[q1[l1]]-a[q2[l2]]>k){
		if(q1[l1]<q2[l2]) now=q1[l1++]+1;//先移动坐标小的 
		else  now=q2[l2++]+1;//+1是因为队列最左边的元素在区间中，是不满足条件的
	}
	ans=max(ans,i-now+1);
} 

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例题

Feel Good

题目链接

给定区间\((1,n)\)，定义\(f(a,b)\)为区间和*区间最小值，求\(max(f(a,b))，1\le a \le n，1 \le b\le n\)

解法：
将问题转化为，求每个元素作为最小值时的最大区间，计算出每个区间的贡献，对答案求max。一个元素的最大区间就是（左边最近的小于该元素的位置+1，右边最近小于该元素的位置-1）。

//用stl_stack的写法，常数大不推荐
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll a[maxn],sum[maxn],p1[maxn],p2[maxn];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		sum[i]=a[i]+sum[i-1];
	}
	stack<ll>s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(!s.empty()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();//单调增的队列
		if(s.empty()) p1[i]=1;
		else p1[i]=s.top()+1;//最近的小于该元素的位置+1
		s.push(i); 
	}
	while(!s.empty()) s.pop();
	for(int i=n;i>=1;i--){
		while(!s.empty()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();
		if(s.empty()) p2[i]=n;
		else p2[i]=s.top()-1;//最近的小于该元素的位置-1
		s.push(i); 
	}
	ll ans=-1,tx=0,ty=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll temp=(sum[p2[i]]-sum[p1[i]-1])*a[i];
		if(temp>ans){
			ans=temp;
			tx=p1[i];ty=p2[i];
		}
	}
	printf("%lld\n%lld %lld",ans,tx,ty);
}

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Ascending Rating

题目链接

给定区间(1,n)，定义f(i,j)为区间(i,j)上的最大值，g(i,j)为从左往右遍历该区间上最大值的更新次数，求\(\Sigma f(i,i+m)和\Sigma g(i,i+m)，(1\le i，i+m \le n)\)

解法：
最大值同上可以用坐标递增值递减的单调队列的队首元素表示，而更新次数可以用坐标递减值递减的单调队列的大小来表示，发现最大值也可以用后者的来维护，因此只需要从右往左建立递减的单调队列即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+5;
ll a[maxn],q1[maxn],q2[maxn];
ll ans1[maxn],ans2[maxn];
int main(){
	ll T,n,m,k,p,q,r,mod;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&p,&q,&r,&mod);
		for(int i=1;i<=k;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		for(int i=k+1;i<=n;i++)
			a[i]=(p*a[i-1]+q*i+r)%mod;
		ll res1=0,res2=0;
		ll l=n+1,r=n;
		for(int i=n;i>=1;i--){
			while(r>=l&&a[q2[l]]<=a[i]) l++;
			q2[--l]=i;
			while(r>=l&&q2[r]>i+m-1) r--;
			if(i<=n-m+1){
				res2+=(r-l+1)^i;
				res1+=a[q2[r]]^i;
			}
		}
		printf("%lld %lld\n",res1,res2);
	}
}

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OpenStreetMap

题目链接

给定矩阵\(M[n][m]\) ,a,b，对于M中每个a*b的子矩阵，求出子矩阵中的最小元素并求和

解法：
遍历每一行，从左至右存储每个长度为b的区间内的最小数，得到新矩阵\(B[n][m-b+1]\)，遍历B的每一列，同样用单调递增队列就可以维护得到每个子矩阵的最小值。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e3+5;
int h[maxn][maxn],g[maxn*maxn],q[maxn];
int a1[maxn][maxn];
int main(){
	int n,m,a,b,x,y,z;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);
	scanf("%d%d%d%d",&g[0],&x,&y,&z);
	for(int i=1;i<=n*m-1;i++)
		g[i]=((ll)g[i-1]*(ll)x%z+(ll)y)%z;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			h[i][j]=g[(i-1)*m+j-1];
	for(int i=1;i<=n;i++){//算出每个横区间的最小值矩阵 
		int l=1,r=0;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			while(r>=l&&h[i][q[r]]>h[i][j]) r--;//不严格增(最小值)
			q[++r]=j;
			while(r>=l&&j-q[l]+1>b)l++;
			if(j>=b) a1[i][j]=h[i][q[l]];
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int j=b;j<=m;j++){
		int l=1,r=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			while(r>=l&&a1[q[r]][j]>a1[i][j]) r--;
			q[++r]=i;
			while(r>=l&&i-q[l]+1>a)l++;
			if(i>=a)
				ans+=a1[q[l]][j];
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

Planting Trees

题目链接

给定一个n*n的矩阵和每个位置上的权值 ai,j ，求最大的子矩阵，满足子矩阵中最大值和最小值之差不超过m。

解法：
枚举子矩阵的上边与下边O(N^2)，存储区间内n条宽度为1的矩阵的最小值和最大值，在下界递增的时候单条宽度1的矩阵最小值与最大值的维护是O(1)的，每条矩阵抽象成了一个点（有两个值），此时可以用单调队列在O(N)内求出最大值最小值相差不超过m的最大区间。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=505;
int a[maxn][maxn];
int maxx[maxn],minn[maxn];
int q1[maxn],q2[maxn];
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				scanf("%d",&a[i][j]);
		int ans=0;
		for(int t=1;t<=n;t++){//枚举上界
			for(int i=1;i<=n;i++)//初始化最大最小值 
				minn[i]=maxx[i]=a[t][i];
			for(int b=t;b<=n;b++){//枚举下界
				if(b!=t){
					for(int i=1;i<=n;i++){
						minn[i]=min(minn[i],a[b][i]);
						maxx[i]=max(maxx[i],a[b][i]);
					}
				}			
				int l1=1,r1=0,l2=1,r2=0,now=1;
				for(int i=1;i<=n;i++){
					while(r1>=l1 && maxx[q1[r1]]<maxx[i]) r1--;//不严格递减(最大值) 
					while(r2>=l2 && minn[q2[r2]]>minn[i]) r2--;//不严格递增(最小值)
					q1[++r1]=i;
					q2[++r2]=i;
					while(r1>=l1&&r2>=l2&&maxx[q1[l1]]-minn[q2[l2]]>m){
						if(q1[l1]<q2[l2])now=q1[l1++]+1;
						else now=q2[l2++]+1;
					}
					ans=max(ans,(i-now+1)*(b-t+1));	
				}
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}