二次剩余学习笔记

学习： https://kewth.blog.luogu.org/solution-p5491

定义

对于p，n，若存在x，满足(x^2 equiv n pmod{p})，则称n为模p意义下的二次剩余，即n在模p意义下能开方，计算二次剩余就是计算x，x在模p意义下和(sqrt{n})等价

下文仅对p为奇素数时进行讨论

判定

如何判断n是否是模p意义下的二次剩余？

p为奇素数，有如下结论：

（1）a是模p的二次剩余的充要条件是(a^{(p-1)/2} equiv 1 pmod{p})

（2）a是模p的非二次剩余的充要条件是(a^{(p-1)/2} equiv -1 pmod{p})

（3）当a时模p的二次剩余时，同余方程有两个解

性质

二次剩余有如下特性：

（1） 若a1,a2都是模p的二次剩余，a1*a2也是模p的二次剩余

（2） 若a1,a2都是模p的非二次剩余，a1*a2是模p的二次剩余

（3） 若a1是模p的二次剩余,a2是模p的非二次剩余,a1*a2是模p的非二次剩余

（4）(n^2 equiv (p−n)^2 pmod{p})

（5） p的二次剩余和二次非剩余的个数均为(p−1)/2

求解方法

首先判断这个数数n是否是二次剩余，如果n是0则答案只有一个，就是0

若n不为0，且有二次剩余，则进行如下运算：

随机一个数a，使得(w=a^2-n)为非二次剩余，

然后((a+i)^{(p+1)/2})就是一个解，另一个解是它在模p意义下的相反数

代码

/*洛谷P5491
若有解，则按模p后递增的顺序输出在模p意义下的全部解.
若两解相同，只输出其中一个,
若无解，则输出Hola!
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
typedef long long ll;

int mod;
ll I_mul_I; // 虚数单位的平方

struct complex {
    ll real, imag;
    complex(ll real = 0, ll imag = 0): real(real), imag(imag) { }
};
inline bool operator == (complex x, complex y) {
    return x.real == y.real and x.imag == y.imag;
}
inline complex operator * (complex x, complex y) {
    return complex((x.real * y.real + I_mul_I * x.imag % mod * y.imag) % mod,
            (x.imag * y.real + x.real * y.imag) % mod);
}

complex power(complex x, int k) {
    complex res = 1;
    while(k) {
        if(k & 1) res = res * x;
        x = x * x;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

bool check_if_residue(int x) {//判断x是否是模p意义下的二次剩余
    return power(x, (mod - 1) >> 1) == 1;
}

void solve(int n, int p, int &x0, int &x1) {
    mod = p;

    ll a = rand() % mod;
    while(!a or check_if_residue((a * a + mod - n) % mod))
        a = rand() % mod;
    I_mul_I = (a * a + mod - n) % mod;

    x0 = int(power(complex(a, 1), (mod + 1) >> 1).real);
    x1 = mod - x0;
}
int main (){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,p,x0,x1;
        scanf("%d%d",&n,&p);
        mod = p;
        if(n==0){//若n为0，有一个解0
            printf("0
");
        }
        else if(check_if_residue(n)){//n不为0且有解，则必有一对不同解
            solve(n,p,x0,x1);
            if(x0<x1){
                printf("%d %d
",x0,x1);
            }
            else{
                printf("%d %d
",x1,x0);
            }
        }
        else{
            printf("Hola!
");
        }
    }
}