普通生成函数

定义

序列 (a) 的普通生成函数（ordinary generating function，OGF）定义为形式幂级数：

[F(x)=sum_{n}a_n x^n ]

(a) 既可以是有穷序列，也可以是无穷序列。常见的例子（假设 (a) 以 (0) 为起点）：

1. 序列 (a=langle 1,2,3 angle) 的普通生成函数是 (1+2x+3x^2) 。
2. 序列 (a=langle 1,1,1,cdots angle) 的普通生成函数是 (sum_{nge 0}x^n) 。
3. 序列 (a=langle 1,2,4,8,16,cdots angle) 的生成函数是 (sum_{nge 0}2^nx^n) 。
4. 序列 (a=langle 1,3,5,7,9,cdots angle) 的生成函数是 (sum_{nge 0}(2n+1)x^n) 。

换句话说，如果序列 (a) 有通项公式，那么它的普通生成函数的系数就是通项公式。

基本运算

考虑两个序列 (a,b) 的普通生成函数，分别为 (F(x),G(x)) 。那么有

[F(x)pm G(x)=sum_n (a_npm b_n)x^n ]

因此 (F(x)pm G(x)) 是序列 (langle a_npm b_n angle) 的普通生成函数。

考虑乘法运算，也就是卷积：

[F(x)G(x)=sum_n x^n sum_{i=0}^na_ib_{n-i} ]

因此 (F(x)G(x)) 是序列 (langle sum_{i=0}^n a_ib_{n-i} angle) 的普通生成函数。

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

例如 (langle 1,1,1,cdots angle) 的普通生成函数 (F(x)=sum_{nge 0}x^n) ，我们可以发现

[F(x)x+1=F(x) ]

那么解这个方程得到

[F(x)=frac{1}{1-x} ]

这就是 (sum_{nge 0}x^n) 的封闭形式。

考虑等比数列 (langle 1,p,p^2,p^3,p^4,cdots angle) 的生成函数 (F(x)=sum_{nge 0}p^nx^n) ，有

[egin{aligned}F(x)px+1 &=F(x)\F(x) &=frac{1}{1-px}end{aligned} ]

等比数列的封闭形式与展开形式是常用的变换手段。

常用的封闭形式与展开形式的转化(方式)

1、用已知封闭形式转换

[F(x)=sum_{nge 1}x^n=sum_{nge 0}x^n-1=dfrac{x}{1-x} ]

2、代入已知封闭形式

[F(x)=sum_{nge 0}x^{2n}=frac{1}{1-x^2} ]

3、求导(也可以用5式推出)

[egin{aligned}F(x)&=sum_{nge 0}(n+1)x^n\&=sum_{nge 1}nx^{n-1}\&=sum_{nge 0}(x^n)'\&=left(frac{1}{1-x} ight)'\&=frac{1}{(1-x)^2}end{aligned} ]

4、二项式定理：

[F(x)=sum_{nge 0}inom{m}{n}x^n=(1+x)^m ]

5、常用

[F(x)=sum_{nge 0}inom{m+n}{n}x^n=frac{1}{(1-x)^{m+1}} ]

广义牛顿二项式定理

我们重新定义组合数的运算：

[inom{r}{k}=frac{r^{underline{k}}}{k!}quad(rinmathbf{C},kinmathbf{N}) ]

注：(r^{underline{k}}=r*(r-1)*(r-2)*...*(r-k+1))

注意 (r) 的范围是复数域。在这种情况下。对于 (alphainmathbf{C}) ，有广义牛顿二项式定理

[(x+y)^m=sum_{nge 0}inom{m}{n}x^n y^{m-n} ]

二项式定理其实是广义牛顿二项式定理的一个特殊情况，而广义牛顿二项式定理是在生成函数的运算中经常要用到的公式。