符号
(a perp b) 表示a和b互素
剩余类相关
剩余类&剩余
若(m)是一个给定的正整数,则全部整数可分成m个集合,记作(K_0,K_1…,K_{m-1}).其中(K_r(r =0,1,…,m-1))是由一切形如(qm+r)的整数所组成的。(K_0,K_1…,K_{m-1})叫做模m的剩余类，一个剩余类中任一数叫做它同类的数的剩余。
完全剩余系
若(a_0,a_1.…,a_{m-1})是(m)个整数,并且其中任何两数都不同在一个剩余类里,则(a_0,a_1.…,a_{m-1})叫做模(m)的一个完全剩余系。
简化(既约)剩余系
简化剩余系(reduced residue system)也称既约剩余系或缩系，是m的完全剩余系中与m互素的数构成的子集，显然m的简化剩余系大小为(phi (m))
群论相关
群
群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。
单位元
(∃e∈S,∀x∈S,e⋅x=x⋅e=x)，则称e为单位元
阶
在群(G)中,(a∈G)。如果有整数(k)，使(a^k=e)，那么使这个等式成立的最小正整数(k)叫做(a)的阶，记为(k=|a|)
如果这样的(k)不存在，则称(a)的阶是无限的，记为(a=+∞)
阿贝尔群(交换群、加群)
满足交换律的群
非阿贝尔(非交换群)
至少存在两个元素满足(a*b eq b*a)的群称为非阿贝尔群
生成元&秩
群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成，这组群元称为该群的生成元，生成元的数目为有限群的秩。
欧拉函数相关
欧拉定理
当 (a, m in mathbb{Z},) 且 (operatorname{gcd}(a, m)=1) 时有：(a^{varphi(m)} equiv 1(mod m))
扩展欧拉定理(降幂)
(a^{b} equivleft{egin{array}{ll}a^{b \% phi(p)} & g c d(a, p)=1 \ a^{b} & g c d(a, p) eq 1, b<phi(p) \ a^{b \% phi(p)+phi(p)} & g c d(a, p) eq 1, b geq phi(p)end{array} quad(mod p) ight.)
原根相关
原根
阶：设 (a, m in mathbb{N}^{+},) 且 (a perp m,) 使 (a^{x} equiv 1(mod m)) 成立的最小正整数 (x,) 称为 (a) 模 (m) 的阶, 记为 (operatorname{ord}_{m} a_{0})
原根：设 (g, m in mathbb{N}^{+},) 且 (g perp m ;) 若 (operatorname{ord}_{m} g=varphi(m),) 则称 (g) 是模 (m) 的原根。
定义原根的意义在于, 原根非常类似于单位根, 故有一些很好的性质, 比如说我们考虑当 (m) 是质数时, 原根有如下等价定义：若 (g) 是模 (m) 的原根, 则 (g^{1}, g^{2}, cdots, g^{m-1}) 的值在模 (m) 的意义下两两不同, 注意到模(m)剩余系中恰有(m)个数，而任意一个非零数的幂次都不可能等于0，故原根的幂次在模(m)的剩余系中是最稠密的，换句话说，仅用原根就能够充分表示模 (m) 剩余系的性质。