一个抽奖模型的求解
2013-06-19
问题描述：
有3组数，分别都是 [0-9] 10个数字，从中随机分别各选择1个数字，不分先后顺序，作为开奖结果。开奖结果设定后，从中随机分别各选择1个数字，不分先后顺序，作为抽奖结果。
如果3个数字与开奖结果完全匹配，则是一等奖；
如果2个数字与开奖结果匹配，则是二等奖；
如果1个数字与开奖结果匹配，则是三等奖；
如果没有任何数字与开奖结果匹配，则不中奖；
问：1. 开奖结果总共有多少种？
2. 一、二、三等奖的概率各是多少？
求解过程：
首选计算开奖结果有多少种。从3组 [0-9] 10个数字中各选1个数字，那么有10^3=1000种情况，但是这是有序的情况。这里不考虑顺序，所以对于567与765这样的情况，是一种结果。所以，为了方便处理，我们对开奖结果设定为ABC，A、B、C 3个数字非降序排列。通过进而计算出现开奖结果有多少种。
先考虑最直观的一种解法：不考虑非降序的情况，对1000中情况进行非降序处理，然后去重，统计个数即为开奖结果的数量。
程序如下：
#include <iostream> #include <string> #include <set> #include <algorithm> using namespace std; void foo(string& s, int n, char c = '0') { if (s.size() >= n) { return; } else { s = string(n-s.size(), c) + s; } } int main() { char s[3]; string str; set<string> ss; for (int i = 0; i != 100; ++i) { itoa(i, s, 10); str = s; foo(str, 3); sort(str.begin(), str.end()); ss.insert(str); } for (int i = 100; i != 1000; ++i) { itoa(i, s, 10); str = s; sort(str.begin(), str.end()); ss.insert(str); } cout << ss.size() << endl; system("PAUSE"); return 0; }
这样是处理了所有的1000个结果，对其排序并去重。有种更为笨拙的方法是，针对每个结果，去扫描前面是否已经出现过，不过这种原来和上面是一样的，只不过上面用了set时间复杂度为O(NlogN)，如果逐个扫描的时间复杂度为O(N^2)。
这两种方法都不太好，考虑到开奖结果是不区分顺序的，所以对于567、576、657、675、756、765这六种结果都可以看做是一种结果567，我们对结果进行非降序处理。处理后的形式为：ABC，其中A<=B<=C。根据非降序的特性，我们可以得到一种更为快捷的方式来计算开奖结果的数量。程序如下：
//2.cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int total = 0; for (int A = 0; A != 10; ++A) { for (int B = A; B != 10; ++B) { for (int C = B; C != 10; ++C) { ++total; } } } cout << total << endl; system("PAUSE"); return 0; }
这种方法是根据非降序的特性得到的结果，时间复杂度为O(N)。
综上所述，我们知道开奖结果总结有220种结果。
那么，这220种结果有几种形式呢，注意，这里的220种是非降序处理后的。有以下四种形式：
AAA
AAB
ABB
ABC
其中A<B<C。
四种形式对应的数目分别为：
AAA：3个数字一样，所以共计有10种
AAB：9+8+7+…+1+0 = 45种
ABB：9+8+7+…+1+0 = 45种
ABC：220-10-45-45 = 120种
也可由程序计算而得：
//3.cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int total = 0; int aaa = 0; int aab = 0; int abb = 0; int abc = 0; for (int A = 0; A != 10; ++A) { for (int B = A; B != 10; ++B) { for (int C = B; C != 10; ++C) { if (A == B && B == C) { ++aaa; } else if (A == B && B < C) { ++aab; } else if (A < B && B == C) { ++abb; } else // if (A < B && B < C) { ++abc; } ++total; } } } cout << total << endl; cout << aaa << endl; cout << aab << endl; cout << abb << endl; cout << abc << endl; system("PAUSE"); return 0; }
综上所述，四种情况的种类数如下：
|
AAA |
10 |
|
AAB |
45 |
|
ABB |
45 |
|
ABC |
120 |
现在我们计算一等奖的概率，讨论一等奖的概率需要分为以上四种情况。
1） AAA
这种情况只有AAA这种形式，所以中一等奖的概率为 1/1000
2） AAB
这种情况有AAB、ABA、BAA三种形式，中一等奖的概率为3/1000
3） ABB
这种情况有ABB、BAB、BBA三种形式，中一等奖的概率为3/1000
4） ABC
这种情况有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六种形式，中一等奖的概率为6/1000
所以，根据全概率公式得到一等奖的概率为：
P(一等奖) = P(AAA)*P(一等奖|AAA) + P(AAB)*P(一等奖|AAB) + P(ABB)*P(一等奖|ABB) +
P(ABC)*P(一等奖|ABC)
= 10/1000*1/1000 + 135/1000*3/1000 + 135/1000*3/1000 + 720/1000*6/1000
= 0.00514
二等奖的概率：
1） AAA
中二等奖既是匹配2个数字，所以抽检的结果只能是AAX这种，其中X!=A，所以概率为3*9/1000=27/1000
2） AAB
a） AAA 这种情况有1种
b） AAX 这种情况有3*8种
c） ABB 这种情况有3种
d） ABX 这种情况有6*8种（X != A, X!= B）
所以，概率为76/1000
3） ABB
a） BBB 这种情况有1种
b） XBB 这种情况有3*8种
c） AAB 这种情况有3种
d） ABX 这种情况有6*8种
所以，概率为76/1000
4） ABC
a) ABA 这种情况有3种
b) ABB 这种情况有3种
c) ABX 这种情况有6*7种
d) ACA 这种情况有3种
e) ACC 这种情况有3种
f) ACX 这种情况有6*7种
g) BCB 这种情况有3种
h) BCC 这种情况有3种
i) BCX 这种情况有6*7种
所以，概率为144/1000
所以，根据全概率公式得到二等奖的概率为：
P(二等奖) = P(AAA)*P(二等奖|AAA) + P(AAB)*P(二等奖|AAB) + P(ABB)*P(二等奖|ABB) +
P(ABC)*P(二等奖|ABC)
= 10/1000*27/1000 + 135/1000*76/1000 + 135/1000*76/1000 +
720/1000*144/1000
= 0.12447
三等奖的概率：
1） AAA
a) AXX：3*9=27种情况
b) AXY：6*36=216种情况，或3*72=216种情况
所以，概率为243/1000
2） AAB
a) BBB：1种情况
b) AXX：3*8=24种情况
c) BBX：3*8=24种情况※
d) BXX：3*8=24种情况
e) AXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况
f) BXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况
所以， 概率为409/1000
3） ABB
a) AAA：1种情况
b) AAX：3*8=24种情况※
c) AXX：3*8=24种情况
d) BXX：3*8=24种情况
e) AXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况
f) BXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况
所以，概率为409/1000
4） ABC
a) AAA：1种情况
b) AAX：3*7=21种情况※
c) BBB：1种情况
d) BBX：3*7=21种情况※
e) CCC：1种情况
f) CCX：3*7=21种情况※
g) AXX：3*7=21种情况
h) BXX：3*7=21种情况
i) CXX：3*7=21种情况
j) AXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况
k) BXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况
l) CXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况
所以，概率为507/1000
所以，根据全概率公式得到三等奖的概率为：
P(三等奖) = P(AAA)*P(三等奖|AAA) + P(AAB)*P(三等奖|AAB) + P(ABB)*P(三等奖|ABB) +
P(ABC)*P(三等奖|ABC)
= 10/1000*243/1000 + 135/1000*409/1000 + 135/1000*409/1000 +
720/1000*507/1000
= 0.4779
不中奖的概率：
P（不中奖）= 1 – P（一等奖）– P（二等奖）– P（三等奖）
= 1 - 0.00514 - 0.12447 - 0.4779
= 0.39249
从四种情况讨论不中奖的概率：
1） AAA
a) XXX：9种情况
b) XXY：3*36=108种情况
c) XYY：3*36=108种情况
或者b、c合并：9*8*3=216种情况
d) XYZ：9*8*7=504种情况
所以，概率为729/1000，另一个角度为：9/10*9/10*9/10=729/1000
2） AAB
8/10*8/10*8/10=512/1000
a) XXX：8种情况
b) XXY：3*28=84种情况
c) XYY：3*28=84种情况
或者b、c合并：8*7*3=168种情况
d) XYZ：8*7*6=336种情况
所以，概率为512/1000
3） ABB
8/10*8/10*8/10=512/1000
a) XXX：8种情况
b) XXY：3*28=84种情况
c) XYY：3*28=84种情况
或者b、c合并：8*7*3=168种情况
d) XYZ：8*7*6=336种情况
所以，概率为512/1000
4） ABC
7/10*7/10*7/10=343/1000
a) XXX：7种情况
b) XXY：3*21=63种情况
c) XYY：3*21=63种情况
或者b、c合并：7*6*3=126种情况
d) XYZ：7*6*5=210种情况
所以，概率为343种情况
所以，根据全概率公式得到不中奖的概率为：
P(不中奖) = P(AAA)*P(不中奖|AAA) + P(AAB)*P(不中奖|AAB) + P(ABB)*P(不中奖|ABB) +
P(ABC)*P(不中奖|ABC)
= 10/1000*729/1000 + 135/1000*512/1000 + 135/1000*512/1000 +
720/1000*343/1000
= 0.39249
综上所述，针对未中奖的概率通过两种方法得到的概率是一致的。这也就证明了我们关于一、二、三等奖的计算是正确的。
|
奖项 |
概率 |
|
一等奖 |
0.00514 |
|
二等奖 |
0.12447 |
|
三等奖 |
0.4779 |
|
未中奖 |
0.39249 |
后记：下一步进一步讨论如下方面
1. 如何判断中奖，即如何判断匹配的数字数及具体匹配了哪些数字
2. 以上讨论的是3位的抽奖情况，针对N位的情况怎么办，针对N位的情况，如果得到一个开奖结果的汇总（递归实现？）